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Reinquadratische Gleichungen lösen

Anleitung

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Basiswissen｜ Was meint "reinquadratisch"?｜ Wie löst man sie am schnellsten?｜ Was meint ±?｜ Warum gibt es zwei Lösungen?｜ Ginge auch die ABC-Formel?｜ Ginge auch die pq-Formel?｜ Ginge auch Probieren?


Basiswissen


2x²-18 = 0 ist eine reinquadratische Gleichung mit den Lösung x=3 und x=-3. Solche Gleichungen können keine, genau eine oder auch zwei Lösungen haben. Das Verfahren zur Lösung ist hier kurz vorgestellt.

Was meint "reinquadratisch"?


  • reinquadratisch bezieht sich hier auf quadratische Gleichungen.
  • Es muss ein Term mit x² (quadratisches Glied) vorkommen.
  • Es darf ein Term ohne x (absolutes Glied) vorkommen.
  • Es darf kein Term mit x ohne Quadrat vorkommen.

Wie löst man sie am schnellsten?


  • Durch Auflösen nach x, also "normal" umstellen.
  • Beispiel: 2x²-18 = 0 | +18
  • Wird zu: x²-9 = 0
  • Wird zu: x² = 9 | ± Wurzel
  • Erste Lösung: x=3
  • Zweite Lösung: x=-3

Was meint ±?


  • Das meint, dass man am Ende der Umformungen die Wurzel zieht.
  • Dann schreibt man die Wurzel einmal mit einem + davor.
  • Und man schreibt die Wurzel einmal mit einem - davor.
  • Das sind dann die beiden Lösungen der Gleichung.

Warum gibt es zwei Lösungen?


  • Per Definition ist die Wurzel immer eine positive Zahl.
  • Die Wurzel von 9 ist also eigentlich nur die 3 selbst.
  • Die -3 in die Gleichung eingesetzt wäre aber auch eine Lösung.
  • Diese Lösung darf beim Umformen nicht verloren gehen.
  • Daher am Ende: Die Wurzel ziehen und dann als Ergebnis ...
  • einmal die Wurzel selbst und dann ihre Gegenzahl (mit -) hinschreiben.

Ginge auch die ABC-Formel?


  • Ja, die ABC-Formel geht immer, man muss nur vorher passend umformen.
  • Die ABC-Formel braucht immer die Allgemeine Form mit A, B und C.
  • 2x²-18=0 wäre in Allgemeiner Form: 2x²+0x-18=0.
  • Das gäbe: A=2, B=0 und C=-18

Ginge auch die pq-Formel?


  • Ja, die pq-Formel geht immer, man muss nur vorher passend umformen.
  • Die pq-Formel braucht immer die Normalform mit p und q.
  • 2x²-18=0 wäre in Normalform x²+0x-9=0
  • Das gäbe: p=0 und q=-9

Ginge auch Probieren?


  • Probieren meint, dass man für x einfach irgendwelche Zahlen einsetzt.
  • Hat man eine Zahl, mit der die Gleichung aufgeht, dann ist die Zahl eine Lösung.
  • Probieren klappt oft sehr gut. Man nimmt dazu Zahlen wie 0, 1, 3 oder -1 etc.