Basiswissen

Zwei Punkte in einem xyz-Koordinatensystem sind gegeben. Daraus soll eine Gleichung mit Stütz- und Richtungsvektor erstellt werden, also eine Geradengleichung in Parameterform. Das ist hier erklärt.

Ziel

x = Stützvektor + r mal Richtungsvektor

x-Vektor hinschreiben

Links vom Gleichzeichen schreibt man ein x.

Schreibe über das x noch einen kleinen Pfeil.

Das meint: das x soll ein Vektor sein.

Statt x findet man auch x,y und z übereinander als Vektor geschrieben.

Beides ist üblich und korrekt.

Stützvektor berechnen

Man wählt einen der beiden Punkte als Stützpunkt.

Welchen der zwei Punkte man wählt ist dabei egal.

Man wählt irgendeinen der zwei bekannten Punkte der Geraden.

Diesen nimmt man als Stützvektor. Schreibe die Zahlen übereinander.

Schreibe rechts hinter den Stützvektor ein Pluszeichen: +

Zur Bedeutung siehe auch 👉 Stützvektor

Parameter r hinschreiben

Nach dem + kommt der sogenannte Parameter.

Dies ist einfach nur ein Buchstabe (keine Zahl).

Üblich sind ein kleines r, t, s oder auch λ, μ oder σ.

Man kann - muss aber nicht - dahinter ein Malzeichen setzen.

Zur Bedeutung siehe auch 👉 Laufparameter

Richtungsvektor berechnen

Schreibe hinter den Parameter eine leere hohe runde Klammer für den Stützvektor.

Wir betrachten wieder den Stützvektor und den Vektor zu dem anderen Punkt.

Rechne: Vektor des anderen Punktes minus den Vektor zum Stützpunkt.

Siehe auch 👉 Vektor minus Vektor

Das Ergebnis ist dann der gesuchte Richtungsvektor.

Die Koordinaten des Stützvektors kommen jetzt senkrecht übereinander geschrieben in die leere Klammer.

Das ist der gesuchte 👉 Richtungsvektor

Siehe auch 👉 Vektor aus zwei Punkten

Probe

Hat man eine Parameterform aus den zwei Punkten erstellt, kann man selbst mit einer sogenannten Punktprobe überprüfen, ob die Geradengleichung richtig ist. Die Kernidee der Punktprobe ist: man setzt zunächst den ersten der zwei gegebenen Punkte mit der Parameterform gleich. Kann man einen Wert für den Laufparameter bestimmen, der die so entstandene Gleichung für alle drei Koordinatenrichtungen (x, y und z) erfüllt, dann liegt der Punkt auf der Geraden, ansonsten nicht. Nach dem ersten Punkt wird die Probe auch noch für den zweiten Punkt durchgeführt. Nur wenn beide Punktproben aufgehen, ist die erstellte Gleichung zuverlässig richtig. Siehe mehr unter 👉 Punktprobe 3D

Beispiele

Man hat die Punkte P(10|8|6) und Q(4|3|1)

x = (10|8|6) + r (6|5|5)

Aufgaben

Erstelle die Geradengleichung aus den zwei gegeben Punkten. Mache für beide Punkte eine Punktprobe und zeigte damit die Richtigkeit der Lösung.

a) (2|0|0), (4|4|4)

b) (2|0|0), (0|2|0)

c) (2|0|0), (0|2|8)

d) (2|3|4), (4|3|2)

e) (9|9|9), (0|0|0)

f) Denke dir zwei Punkte aus, die im xyz-Koordinaten senkrecht übereinander liegen. Erstelle für diese zwei Punkte die Parameterform. Mache für beide Punkte die Punktprobe.

f) Denke dir drei Punkte aus, die alle auf der Geraden liegen. Erstelle eine geeignete Geradengleichung. Mache die Punktprobe für alle drei Punkte.

===== Fußnoten

^[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort werden auf Seite 105 bis Seite 108 zwei Varianten der Parameterform vorgestellt, die "Punkt-Richtungs-Form einer Geraden" (entspricht der Beschreibung in diesem Artikel) und die "Zwei-Punkte-Form einer Geraden". Bei dieser Variante wird der Richtungsvektor als Differenz der Ortsvektoren der zwei gegebenen Punkte einer Geraden ausgeschrieben. Siehe auch 👉 Der Papula