Basiswissen

Wie ist lokaler Tiefpunkt exakt definiert?

• Mit Hilfe der epsilon-Umgebung:
  

• Ein Tiefpunkt ist ein Punkt, in dessen epsilon-Umgebung keine höheren Punkte liegen.
  

• Das heißt, wenn man eine beliebig kleine Umgebung links und rechts ...
  

• von dem Tiefpunkt finden kann, in der alle anderen Werte höher sind, ...
  

• dann war der untersuchte Punkt auch ein Tiefpunkt.
  

• Mehr dazu unter epsilon-Umgebung ↗
  

Welche Eigenschaften hat ein lokaler Tiefpunkt?

• Bei einer Parabel heißt der lokale Tiefpunkt Scheitelpunkt.
  

• Allgemein (nicht nur für Parabeln) gilt:
  

• Die Steigung ist immer Null.
  

• Die Tangente verläuft dort waagrecht.
  

• Die erste Ableitung ist dort Null.
  

• Die zweite Ableitung ist dort positiv.
  

Hat jeder Graph einen lokalen Tiefpunkt?

• Nein, Geraden zum Beispiel haben nie einen Tiefpunkt.
  

• Auch f(x)=x³ oder die Tangensfunktion haben keinen Tiefpunkt.
  

Gibt es Funktionen mit mehreren lokalen Tiefpunkten?

• Ja, zum Beispiel hat die Sinusfunktion unendlich viele Tiefpunkte.
  

• Auch ganzrationale Funktionen ab dem Grad 4 können mehrere TP haben.
  

Begriffe

• Der y-Wert von einem lokalen Tiefpunkt heißt lokales Minimum ↗
  

• Der x-Wert von einem lokalen Tiefpunkt heißt lokale Tiefstelle ↗