Basiswissen

Die Standardform ist 0 = Ax³+Bx²+Cx+D. Daneben gibt es aber auch noch andere Formen für kubische Gleichungen. Diese sind hier in einer Übersicht kurz zusammengestellt.

Was meint "Form" hier?

Man unterscheidet verschiedene Formen von kubischen Gleichungen. Als Form einer kubischen Gleichung bezeichnet man jede Art Bauplan, den man aber immer letztendlich auch in die Allgemeine Form umwandeln könnte. Hier kommen die häufigsten Formen:

0 = x³ + bx² + cx + d

 [1]. Wesentlich ist, dass vor dem kubischen Glied x³^[2] kein anderer Vorfaktor als die (gedachte) Zahl 1 stehen darf^[3]. Es gibt kein allgemeines, einfaches Lösungsverfahren. Die übliche Herangehensweise ist ein intelligentes Probieren (Näherungslösung). Siehe auch => Allgemeine Form der kubischen Gleichung">👉 Normalform der kubischen Gleichung

Kein Faktor vor dem x³ (außer der 1)

Kein einfaches Lösungsverfahren

Am ehesten eine 👉 Näherungslösung

0 = Ax³ + Bx² + Cx + D

👉 Allgemeine Form der kubischen Gleichung

A darf jede Zahl (außer der 0) sein.

Kein einfaches Lösungsverfahren

Am ehesten eine 👉 Näherungslösung

0 = ax³ + c

 [1]. Das d ist einfach nur eine Zahl, man nennt sie auch lineares Glied^[2]. Diese Gleichungen kann man immer durch einfache Äquivalenzumformungen lösen.">👉 Reinkubische Form der kubischen Gleichung

Es gibt kein Glied mit x², also kein 👉 quadratisches Glied

Es gibt kein Glied mit x, also kein 👉 lineares Glied

Gut lösbar über normales Umformen nach x

Lösen über 👉 Gleichungen lösen über umformen

0 = (x+4)(x-3)(x-15)

👉 Faktorisierte Form der kubischen Gleichung

> Zwischen den Klammen steht ein gedachtes "Mal".

> Die Klammern sind also Faktoren, daher der Name.

> Lösung ablesen über den 👉 Satz vom Nullprodukt

> Lösung kann direkt abgelesen werden (hier: -4, 3 und 15).

0 = ax³ + bx² + c

 [1]. Die 2x² sind das quadratische Glied^[2], die 2x das lineare Glied^[3] und die Zahl 20 ist das sogenannte absolute Glied^[4]. Wesentlich für eine gemischtkubische Gleichung ist, dass neben dem kubischen Glied mindestens noch ein quadratisches und/oder ein lineares Glied vorhanden ist.">👉 Gemischtkubische Gleichung

> Es muss etwas mit x³ und etwas mit x² und oder x geben.

> Das c darf 0 sein.

0 = ax³ + bx² + cx

👉 Kubische Gleichung ohne absolutes Glied

> Das absolute Glied wäre das Glied ohne x.

> Das absolute Glied ist also nur eine Zahl.

> Hier darf es also kein c geben, bzw. ist c=0.

> Lösbar über Ausklammern von x