Basiswissen

Was ist ein Grenzwert?

• Ein Grenzwert ist ein Funktionswert, also ein y-Wert.
  

• Dieser Wert wird nicht ganz genau erreicht.
  

• Aber die y-Werte kommen sehrn nahe daran.
  

• Das Fachwort für Grenzwert ist Limes.
  

Was meint Grenzwert gegen plus unendlich?

• Das meint, dass man gedanklich auf der x-Achse immer weiter nach rechts geht, ...
  

• eigentlich so weit nach rechts, wie überhaupt denkbar. Dann ist man bei plus unendlich.
  

• Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für plus unendlich.
  

Wie bestimmt man den Grenzwert für plus unendlich?

• Es gibt verschiedene Methoden. Hier wird nur eine Probiermethode gezeigt.
  

• Man setzt in die Funktionsgleichung der Reihe nach immer größere x-Werte ein.
  

• Man könnte zum Beispiel erst die 1000, dann die 5000 und dann eine Million einsetzen.
  

• Man beobachtet, was dann die y-Werte machen. Das gibt einem ein Gefühl, ...
  

• hin zu welchem Wert die y-Werte streben. Das ist dann der Grenzwert.
  

Was meint Grenzwert gegen minus unendlich?

• Das meint, dass man gedanklich auf der x-Achse immer weiter nach links geht, ...
  

• eigentlich so weit nach links, wie überhaupt denkbar. Dann ist man bei minus unendlich.
  

• Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für minus unendlich.
  

Wie bestimmt man den Grenzwert für minus unendlich?

• Hier geht man gedanklich ähnlich vor, wie bei plus unendlich.
  

• Man setzt Zahlen als x-Werte ein, die immer weiter links auf der Zahlengeraden liegen.
  

• Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
  

Was meint Grenzwert gegen plus 0?

• Man geht gedanklich auf der x-Achse von rechts kommend immer näher an die 0, ...
  

• ohne dass man sie dabei aber erreicht.
  

• Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für plus Null.
  

Wie bestimmt man den Grenzwert für plus 0?

• Man setzt immer kleinere, aber stets positive x-Werte ein.
  

• Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
  

Was meint Grenzwert gegen minus 0?

• Man geht gedanklich auf der x-Achse von links kommend immer näher an die 0, ...
  

• ohne dass man sie dabei aber erreicht.
  

• Was dort als y-Wert herauskäme, wäre der Grenzwert für minus Null.
  

Wie bestimmt man den Grenzwert für minus 0?

• Man setzt immer größere, aber stets negative x-Werte ein.
  

• Man erkennt dann oft schon, in welche Richtung der y-Wert geht. Das ist der Grenzwert.
  

• (Größer meint in der Mathematik: weiter rechts auf der x-Achse/dem Zahlenstrahl.)
  

Beispiel für plus unendlich

• Wir nehmen die Funktion: f(x)=1/x
  

• Immer größere Zahlen für x einsetzen:
  

• f(2)=0,5
  

• f(5)=0,2
  

• f(10)=0,1
  

• f(100)=0,01
  

• f(1000)=0,001
  

• Für x gegen unendlich geht f(x) gegen 0.
  

• Null ist der Grenzwert für x gegen unendlich.
  

Beispiel für minus unendlich

• Wir nehmen die Funktion: f(x)=1/x
  

• Immer kleinere Zahlen für x einsetzen:
  

• f(-2)=-0,5
  

• f(-5)=-0,2
  

• f(-10)=-0,1
  

• f(-100)=-0,01
  

• f(-1000)=-0,001
  

• Für x gegen minus unendlich geht f(x) gegen 0.
  

• Null ist der Grenzwert für x gegen minus unendlich.
  

Beispiel für plus Null

• Wir nehmen als Funktion: f(x)=1/x
  

• Immer kleinere, positive x-Werte einsetzen:
  

• f(2)=0,5
  

• f(1)=1
  

• f(0,5)=2
  

• f(0,1)=10
  

• f(0,01)=100
  

• f(0,001)=1000
  

• Für x gegen plus 0 geht f(x) gegen unendlich.
  

Beispiel für minus Null

• Wir nehmen als Funktion: f(x)=1/x
  

• Immer kleinere, positive x-Werte einsetzen:
  

• f(-2)=-0,5
  

• f(-1)=-1
  

• f(-0,5)=-2
  

• f(-0,1)=-10
  

• f(-0,01)=-100
  

• f(-0,001)=-1000
  

• Für x gegen miuns 0 geht f(x) gegen minus unendlich.
  

Synonyme

• Grenzwert ↗
  

• Limes ↗