Regel von l'Hospital
Grenzwerte
Basiswissen
Regel für Grenzwerte von Quotientenfunktionen: hat man eine Funktion f(x)/g(x), dann kann man den Grenzwert dadurch bestimmen, dass man Zähler und Nenner einzeln ableite und dann den Grenzwert des neuen Quotienten bildet. Man kann diesen Schritt auch mehrfach wiederholen.
Beispiel 1
- Gegeben ist die Funktion f(x)=[e^x-1]/x
- Gesucht ist der Grenzwert für x->0
- Sowohl der Zähler geht gegen 0 ...
- als auch der Nenner.
- Der Grenzwert ist also 0/0 und damit unbestimmt.
- Jetzt leitet man getrennt Zähler und Nenner erst ab.
- Zähler abgeleitet gibt e^x ...
- Nenner abgeleitet gibt 1
- Für x->0 gehen beide Terme gegen 1, also ...
- ist der Grenzwert 1/1 oder 1.
- Das ist auch der Grenzwert von f(x).
Beispiel 2
- f(x)=[ln(x)]/x
- Grenzwert für x-> unendlich ist 0.
Beispiel 3
- f(x)=x²/e^x
- Grenzwert für x-> unendlich ist 0
Beispiel 4
- f(x)=[-3x+2]/[4x-5]
- Grenzwert für x-> unendlich ist -0,75
Was ist der theoretische Hintegrund?
Die Regel von l'Hospital ist eine von mehreren Methoden zur Bestimmung eines exakten Grenzwerts von Funktionen. Verwandte Stichworte sind auch Limes und Unendlichkeitsverhalten. Lies mehr unter Grenzwert ↗