Quartische Gleichungen nach Formen
Übersicht
Basiswissen
Normalform, allgemeine Form, mit und ohne absolutes Glied: eine quartische Gleichung ist eine ganzrationale Gleichung vierten Grades, also eine hoch-vier-Gleichung. Hier steht eine Übersicht dazu.
Was meint "Form" hier?
Man unterscheidet verschiedene Formen von quartischen Gleichungen. Als Form einer quartischen Gleichung bezeichnet man jede Art Bauplan, den man aber immer letztendlich auch in die Allgemeine Form umwandeln könnte. Hier kommen die häufigsten Formen:
0 = x^4 + ax³ + bx² + cx + d
- Normalform der quartischen Gleichung
- Kein Faktor vor dem x^4 (außer der 1)
- Kein einfaches Lösungsverfahren
0 = Ax^4 + Bx³ + Cx² + Dx + E
- Allgemeine Form der quartischen Gleichung
- A darf jede Zahl (außer der 0) sein.
- Kein einfaches Lösungsverfahren
0 = ax^4 + bx² + c
- Es gibt ein Glied mit x^4.
- Es gibt ein Glied mit x².
- Es kann ein absolutes Glied geben.
- Es gibt kein Glied mit x³.
- Es gibt kein Glied mit nur x.
- Gut lösbar über Substitution
0 = ax^4 + c
- Reinquartische Form der quartischen Gleichung
- Es gibt kein Glied mit x (kein lineares Glied)
- Es gibt kein Glied mit x² (quadratisches Glied)
- Es gibt kein Glied mit x³ (kubisches Glied)
- Gut lösbar über normales Umformen nach x
0 = (x+4)(x-3)(x-15)(x-17)
- Faktorisierte Form der quartischen Gleichung
- Zwischen den Klammen steht ein gedachtes "Mal".
- Die Klammern sind also Faktoren, daher der Name.
- Lösung ablesen über den Satz vom Nullprodukt ↗
- Lösung kann direkt abgelesen werden (hier: -4, 3, 15 und 17).
0 = ax^4 + bx³ + c
- Gemischtquartische Form der quartischen Gleichung
- Es muss etwas mit x^4 und etwas mit x³, x² und oder x geben.
- Das c darf 0 sein.
- Kein einfaches Verfahren
0 = ax^4 + bx³ + cx² + dx
- Quartische Gleichung ohne absolutes Glied
- Das absolute Glied wäre das Glied ohne x.
- Das absolute Glied ist also nur eine Zahl.
- Hier darf es also kein c geben, bzw. ist c=0.
- Lösbar über Ausklammern von x
- Siehe auch ausklammern ↗