Punkt in Gleichung einsetzen
Übersicht
Basiswissen
Man kann den Punkt (2|4) in die Gleichung einer Funktion wie zum Beispiel f(x) = x² einsetzen. Das wäre dann im Beisiel hier: 4 = 2². Hier stehen verschiedene Möglichkeiten, was das Einsetzen eines Punktes in eine Gleichung bedeuten kann.
Was meint Punkt hier?
- Punkt meint hier ein Punkt in einem Koordinatensystem.
- In der Schulmathematik sind 2D- und 3D-Koordinatensysteme üblich.
- Ein 2D-Punkt wäre z. B. (4|8).
- Ein 3D-Punkt wäre z. B. (1|-5|13).
Was meint Gleichung hier?
- Wenn man Gleichungen und Punkte gemeinsam erwähnt,
- dann meint Gleichung meistens etwas, wozu man sich eine Graphen denkt.
- In der Schulmathematik häufig ist die sogenannte Geradengleichung ↗
- Üblich ist auch die quadratische Funktion mit der Parabelgleichung ↗
- Mehr zu 2D-Gleichungen und Graphen steht unter Geometrischer Ort ↗
- Es gibt aber auch Gleichungen für Dinge im 3D-Koordinatensystem ↗
- Ein Beispiel ist die Gerade in Parameterform ↗
- Oder auch die Ebene in Parameterform ↗
Was meint Punkt einsetzen?
- Man setzt die x-, y- und z-Werte des Punktes an die Stellen ...
- in der Gleichung ein, wo auch x, y und z steht.
- Beispiel: Man hat den Punkt (2|4) in einem xy-Koordinatensystem.
- Die erste Zahl, also die 2, ist der x-Wert, die zweite Zahl der y-Wert.
- Man hat die Geradengleichung y=5x-6 in demselben Koordinatensystem.
- Man setzt jetzt die x- und y-Zahlen vom Punkt in die Gleichung ein.
- Das gibt: 4=5·2-6.
- Das war das Einsetzen.
Wozu ist das gut?
- Nach dem Einsetzen hat man oft eine Gleichung nur mit Zahlen.
- Man kann dann prüfen, ob die Gleichung aufgeht.
- Im Beispiel oben geht die Gleichung auf: auf beiden Seiten kommt 4 heraus.
- Dann weiß man, dass der eingesetzte Punkt auf der Geraden der Gleichung liegt.
- Das nennt man die Punktprobe ↗
Wozu ist das noch gut?
- Oft taucht dieses Verfahren auch auf, wenn man Punkte gegeben hat ...
- und daraus eine Gleichung für Geraden oder Parabeln erstellen soll ...
- die durch die gegebenen Punkte gehen.
- Siehe dazu zum Beispiel Geradengleichung aus zwei Punkten ↗
- Oder für quadratische Funktionen Parabelgleichung aus drei Punkten ↗