Infinitesimal

Definition

Basiswissen

Als Infinitesimal bezeichnet man einen so kleinen Zeit- oder Raumabstand, dass dieser ohne jede praktische Bedeutung für Mess- oder Rechenvorgänge ist. Das Wort wird innerhalb der Analysis eher vermieden und durch die Idee des Grenzwertes ersetzt. Das ist hier näher erklärt.

Kurze Historie

Der US-amerikanische Mathematiker William I. McLaughlin gibt in einem Artikel aus dem Jahr 1995 einen kurzen historischen Abriss de der Begriffsgeschichte^[1]: Um das Jahr 1600 entwickelte sich die Idee, dass es Abstände geben könnte, die so nahe an der Null sind, dass sie ohne jede praktische Bedeutung für Messungen oder Rechnungen bleiben. Gleichzeitig entstand auch die Frage, ob die physikalische Welt unendlich kleine Dinge kenne oder letztendlich aus kleinsten Bausteinen, also sozusagen aus Atomen der Masse, der Zeit und des Raumes aufgebaut ist. Auch wenn Infinitesimale heute etwa zur Einführung von Themen in der Schulmathematik verwendet werden, ließen sie sich dennoch nie exakt definieren. Das Infinitesimal wurde dann im 19ten Jahrhundert abgelöst und galten damit als überholt. 1966 führte jedoch der Logiker Abraham Robinson von der Yale-Universität in New Haven (Connecticut) die Infinitesimale erneut ein, dieses mal korrekt definiert. Sie waren Teil der sogenannten Nichtstandard-Analysis. Diese wiederum benutzt als Fundament die interne Mengenlehre ↗

Abrenzung zum Differential

Die Worte Infinitesimal und Differential werden oft sinngleich verwendet, gehören aber in zwei sich gegenseitig ausschließende Gedankengebäude. Das Wort Infinitesimal gehört entweder in die überholte Vorstellungswelt von Newton und Leibniz oder in die heute akzeptierte Nichtstandard-Analysis. Das Wort Differential hingegen gehört in die alternative Gedankenwelt der Grenzwerte innerhalb der Analysis. Lies mehr dazu unter Differential ↗

Fußnoten

[1] William I. McLaughlin: Eine Lösung für Zenons Paradoxien. In: Spektrum der Wissenschaft. Januar 1995. (ausführliche Beweisführung mit historischer Betrachtung).

[2] McLaughlin, William & Miller, Sylvia. (1992). An epistemological use of nonstandard analysis to answer Zeno's objections against motion. Synthese. 92. 371-384. 10.1007/BF00414288.