Eins-durch-Wurzel-n-Gesetz
Stochastik
Basiswissen
Für eine Binomialverteilung gilt: Bei n unabhängigen Versuchen weicht die relative Erfolgshäufigkeit in einer wirklich durchgeführten Versuchskette (empirisch) nur selten mehr als 1/√n von der tatsächlichen (theoretischen) Wahrscheinlichkeit (tatsächlich = sehr großes n) ab. Was das meint, wird hier erklärt.
Was ist eine Binomialverteilung?
- Binomialverteilung hängt eng zusammen mit dem Thema Bernoulli-Kette.
- Man hat eine Anzahl von n Bernoulli-Experimenten:
- Ein Bernoulli-Experiment ist ein Experiment, bei dem man nur zwischen Treffer und nicht-Treffer unterscheidet.
- Beispiel: man würfelt mit einem normalen Würfel und unterscheidet: "es kam eine 6" oder "es kam keine 6".
- Die Binomialverteilung ist die Angabe, wie groß die Wahrscheinlichkeit für alle möglichen Trefferanzahlen ist.
- Wenn man genau n = 4 mal würfelt, dann verteilen sich die gerundeten Wahrscheinlichkeit so:
- Es kommen genau 0 Sechser: 48 %
- Es kommt genau 1 Sechser: 39 %
- Es kommen genau 2 Sechser: 12 %
- Es kommen genau 3 Sechser: 2 %
- Es kommen genau 4 Sechser: 0 %
- Diese ganze Übersicht ist die Binomialverteilung.
Was ist die relative Erfolgshäufigkeit?
- Als Erfolg gilt, wenn man bei einem Bernoulli-Experiment einen Treffer hat.
- Ein Erfolg im Würfelbeispiel war also: man würfelt eine Sechs.
- Die Erfolgshäufigkeit ist dann die tatsächliche Anzahl von Treffern.
- Die relative Erfolgshäufigkeit bezieht diesen Wert noch auf die Anzahl aller Experiment n.
- Wenn man also n=4 mal würfelt und genau einen Treffer hat, dann...
- ist die relative Erfolgshäufigkeit 1/4 oder 0,25 oder 25 %.
- Dies ist ein empirischer, tatsächlich beobachteter Wert.
Was sagt das 1/√n-Gesetz dann aus?
- Im Beispiel oben war n=4.
- 1/√n ist dann: 1/√4 = 1/2 = 0,5
- Die empirische Erfolgshäufigkeit lag bei 25 %.
- Sie weicht nach dem 1/√n-Gesetz nur selten um mehr als 50 % vom theoretischen Wert ab.
- Der theoretische Wert wäre also zwischne -25 % und +75 % zu erwarten.
- Da es keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt, ist er ...
- zwischen 0 und 75 % zu erwarten.