Uneigentliches Integral erster Art
Anleitung
Basiswissen
Der Graph einer Funktion nähert sich asymptotisch einer waagrechten Linie immer mehr an. Dadurch entstehen gedacht unendlich lange Flächen parallel zur x-Achse. Der Flächeninhalt kann dennoch oft exakt berechnet werden. Das ist hier kurz erklärt.
Was meint uneigentliches Integral?
- Ein Integralwert kann immer als Flächeninhalt gedeutet werden.
- Es geht dabei um die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse.
- Es kann jetzt sein, dass die Fläche in einer Richtung unbegrenzt ist.
- Dann spricht man von einem uneigentlichen Integral
- Es kann sein, dass der Funktionswert gegen plus oder minus unendlich geht.
- Es kann aber auch sein, dass er sich für x gegen plus oder minus unendlich ...
- asymptotische einem y-Wert annähert.
- Das sind zwei unterschiedliche Fälle.
Was meint "erster Art"?
- Bei der ersten Art will man als Integrationsrand ...
- plus oder minus unendlich einsetzen.
Was wäre ein Beispiel?
- Betrachte die Normalhyperbel f(x)=1:x ↗
- Was wäre ihre Fläche unter der Kurve von 1 bis plus unendlich?
- Richtung plus unendlich nähert sich der Graph der x-Achse an.
- Aber er erreicht sie niemals. Wie geht man damit um?
Wie löst man so etwas?
- Man setzt für den unendlichen Rand eine Konstante wie y ein.
- Man bestimmt die Stammfunktion ganz normal ...
- und setzt am Ende die Integrationsgrenzen ein.
- Ganz am Ende lässt man y gegen unendlich laufen.
- Wenn dann ein Wert herauskommt, ist das das Integral.
Wie sieht die Beispielrechnung aus?
- Nehmen wir f(x)=1:x²
- Die Grenzen sollen 1 und plus unendlich sein.
- Für plus unendlich setzt man gleich aber y ein.
- Die Stammfunktion gibt F(x)=-1/x
- Integrationsgrenzen einsetzen:
- Integralwert = -1(y)-(-1/1)
- Jetzt lässt man y gegen unendlich laufen.
- Der Integralwert wird dann zu 0-(-1) = 1.