Transzendente Zahl
Definititonen
Basiswissen
In der Mathematik heißt eine reelle Zahl (oder allgemeiner eine komplexe Zahl) transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.
Was meint hier "Polynom mit ganzzahligen Koeffienten"?
- Das sind Ausdrücke wie 4x²+8x oder 8x³-2x²+14.
- Die Zahlen vor dem x sind die Koeffizienten.
- Sie müssen immer ganze Zahlen sein.
- Auch die Hochzahlen von x müssen ganz sein.
Was meint "Nullstelle" hier?
- Setzt man eine Zahl in ein Polynom wie oben ein, ...
- und wird das Polynom dann zu 0, dann war die Zahl eine Nullstelle.
Was wäre transzendent?
- Die Kreiszahl Pi (etwa 3,14) ist transzendent.
- Man kann kein Polynom finden, für das Pi eine Nullstelle ist.
- Beispiel: x³-3x² gibt mit Pi eingesetzt nicht Null.
- Und egal wie man das Polynom verändert, es wird nie Null geben.
- Deshalb muss Pi transzendent sein.
Was wäre nicht transzendent?
- Die Zahl 15 ist zum Beispiel nicht transzendent.
- Es gibt nämlich ein Polynom, von dem die 15 eine Nullstelle ist:
- x²-225. Setzt man hier 15 ein, wird alles zu 0.
- Nicht transzendeten Zahlen nennt man algebraisch.