Definition

Wie kann man Kanonenkugeln an Bord eines Kriegsschiffes so stapeln, dass man dafür möglichst wenig Raum benötigt? Die Antwort dieser Frage war durchaus praktisch wichtig aber auch mathematisch nicht ganz einfach.^[1]^[5] Als Kugelpackung bezeichnet man dabei jede Anordnung von Kugeln im Raum, sodass sich die Kugeln höchstens berühren, nicht aber gegenseitig durchdringen.^[2] Bei der sogenannten dichtesten Kugelpackung^[3] berührt jede Kugel genau sechs Nachbarkugeln. Bei der dichtesten Kugelpackung nehmen die Kugeln rund 74 % des Volumens ein, wenn man eine sehr große Anzahl von Kugeln betrachtet. Man spricht auch von einer sogenannten Packungsdichte.^[6]

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Die dichtest mögliche Packung von gleich großen Kugeln gibt die sogenannte hexagonale Packung: jede Kugel berührt dabei genau 6 Nachbarkugeln. Schon Johannes Kepler hatte das im Jahr 1611 vermutet. Carl Friedrich Gauß hatte Kepler für den Sonderfall regelmäßig in Gittern angeordneter Kugeln bewiesen. Der allgemeine Beweis, der auch unregelmäßige Anordnungen mit einschließt wurde erst 1998 von Thomas Hales erbracht. Erst nach weiteren 7 Jahren einer Prüfung des Beweises wurde das Ergebnis von Hales veröffentlicht. © Jürg Kramer ☛

Fußnoten

[1] Die Mathematik zum Thema der Kugelpackung ist nicht ganz trivial, also nicht sehr einfach: "Bereits 1773 bewies Joseph-Louis Lagrange, dass die Kugelpackung zum 2-dimensionalen hexagonalen Gitter unter allen Gitter-Kugelpackungen die dichteste ist. Es dauerte allerdings mehr als 100 Jahre bis Axel Thue im Jahr 1892 mit seiner Arbeit beweisen konnte, dass die Kugelpackung zum 2-dimensionalen hexagonalen Gitter unter allen Kugelpackungen der Ebene die dichteste ist." Mit der Arbeit von Thue war gemeint: Thue, A.: Om nogle geometrisk-taltheoretiske Theoremer. Forhandlingerne Ved De Skandinaviske Naturforskeres 14, 352–353 (1892). In: Jürg Kramer: Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen – Die Arbeiten von Maryna Viazovska. Math Semesterber 71, 119–134 (2024). https://doi.org/10.1007/s00591-024-00374-5

[2] "Eine Kugelpackung des 3‑dimensionalen Raumes ℝ³ ist eine Anordnung gleich großer Kugeln, die sich höchstens berühren." In: Jürg Kramer: Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen – Die Arbeiten von Maryna Viazovska. Math Semesterber 71, 119–134 (2024). https://doi.org/10.1007/s00591-024-00374-5

[3] "Wir sprechen von einer dichtesten Kugelpackung, wenn die Anordnung der entsprechenden Kugeln den ℝ³ mit möglichst kleinen Zwischenräumen ausfüllt. Diese beiden Begriffsbildungen lassen sich in natürlicher Weise auch auf die Räume einer beliebigen Dimension ℝᵈ übertragen." In: Jürg Kramer: Dichteste Kugelpackungen in höheren Dimensionen – Die Arbeiten von Maryna Viazovska. Math Semesterber 71, 119–134 (2024). https://doi.org/10.1007/s00591-024-00374-5

[4] Die Kugelpackung ist definiert als die "Lagerung von Kugeln im Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: a) Die Kugeln durchdringen einander nicht. b) Die Verbindungslinien der Mittelpunkte bilden ein zusammenhängendes Netzwerk (Kugelpackungsgraph). c) Die Packungsdichte, d. h. der Bruchteil des von Kugeln überdeckten Raumanteils, ist im Limes strikt positiv, der Raum ist also hinreichend dicht mit Kugeln gefüllt." In: der Artikel "Kugelpackung". Andere Definitionen, so das Lexikon, verlangen noch weitere Bedingungen, etwa dass die betrachteten Kugeln alle denselben Durchmesser haben. Spektrum Lexikon der Geowissenschaften. Abgerufen am 26. Juli 2025. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/kugelpackung/8993

[5] Von der ersten Vermutung Keplers im Jahr 1611, dass die hexagonale Packung die dichteste aller möglichen Packungen sein könnte, bis zur endgültigen Anerkennung eines Beweises im Jahr 2005 vergingen insgesamt 394 Jahre! Das Ergebnis kann man nachlesen in: Hales, T.C.: A proof of the Kepler conjecture. Ann. Math. (2) 162(3), 1065–1185 (2005)

[6] "Packungsdichte, Packungskoeffizient, das Verhältnis des von den Atomen eingenommenen Volumens zum Gesamtvolumen einer Struktur. Die P. ist ein Maß für die Raumerfüllung durch Materie in festen Stoffen." In: der Artikel "Packungsdichte". Spektrum Lexikon der Chemie. Abgerufen am 26. Juli 2025. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/chemie/packungsdichte/6683