Kugeloberfläche über Integralrechnung
Herleitung
Schritt-für-Schritt Erklärung: wie berechnet man die Kugeloberfläche aus einfachsten Grundlagen? Eine Lösung bietet die Integralrechnung.
Kreisumfang = Pi mal Kreisdurchmesser
Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck
Beginnen wir mit der Breite der Breitengradstreifen. Mit Breite ist hier gemeint, wie weit das südliche vom nördllichen Streifenende entfernt ist. Wenn wir den Strahl S mti seinem Durchstoßpunkt D gedanklich vom Äquator zum Nordpol laufen lassen, dann wollen wir gedanklich immer einen möglichsten schmalen Breitengradstreifen hinzuaddieren. Der Winkel alpha von S mit der Äquatorebene wird dabei in kleinen Schritten immer um delta(alpha) vergrößert. Wir gehen also mit S in delta(alpha)-Schrittchen vorwärt. Fasst man das Winkelmaßvon alpha im Bogenmaß auf, dann ergibt sich aus der Definition des Bogenmaßes, dass die Breite des hinzukommenden Breitengradstreifens gleich dem Produkt aus dem Kugelradius und delta(alpha) ist. Damit haben wir einen Term für die Breitengradbreite. Jetzt fehlt noch ein Term für die Länge des Breitengradstreifens. Mit Länge ist hier die Strecke gemeint, die vom Durchstoßpunkt D des Strahls S einmal um die Kugel herum bis wieder zu diesem Punkt führt. Dabei muss die Strecke auf der Kugeloberfläche entlang eines Breitengrades verlaufen. Diese Länge ist also identisch mit dem Umfang des Streifens. Nun hat der Breitengradstreifen zwei "Umfänge". Der mehr zum Äquator hin ist immer etwas größer als der zum Pol hin. Je dünner der Streifen aber gedacht wird, desto mehr kann dieser Unterschied vernachlässigt werden. Es wird hier also nur der Umfang des Breitengrades betrachtet, der auf dem Durchstoßpunkt D des Strahles S liegt und damit zum Winkel alpha gehört. Über den Cosinus des Winkels alpha kann der Radius des Breitengrades bestimmt werden. Das geht so: Man denke sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden drei Ecken: (0|0|0), der Durchstoßpunkt D auf auf der Kugeloberfläche und der Lotfußpunkt von D auf die x-Achse. Die Entfernung vom Koordinatenursprung bis zu diese Lotfußpunkt ist gleich dem Radius des Breitengradstreifens. Diese Entfernung ist aber auch gleich dem Produkt aus dem Cosinus von alpha mit dem Kugelradius r. Als näherungsweisen Flächeninhalt des Breitengradstreifens können wir jetzt seine Breite mit seiner Umfangslänge multiplizieren.
Breitengradfläche = [Breite] * [Umfangslänge]
Breitengradfläche = [delta(alpha)*r] * [2]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;"> [2*Pi*cos(alpha)*r]
Nun können wir die Breitengradfläche vom Winkel alpha=0 bis alpha=90 Grad integrieren. Die Integrationsvariable ist dann alpha. Die Stammfunktion vom Cosinus ist der Sinus. Also ergibt sich als bestimmtes Integral:
Breitengradfläche = 2*Pi*r^2*sin(alpha) in den Grenzen von alpha = 0 bis alpha = 90 Grad. Mit den eingesetzen Integrationsgrenzen ergibt dies 2*Pi*r^2 für die Halbkugel und 4*Pi*r^2 für die gesamte Kugel. Das aber ist genau der Term aus der Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel mit dem Radius r.
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Basiswissen
Schritt-für-Schritt Erklärung: wie berechnet man die Kugeloberfläche aus einfachsten Grundlagen? Eine Lösung bietet die Integralrechnung.
Kreisumfang = Pi mal Kreisdurchmesser
Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck
Gedankenskizze
- Stelle dir ein 3D-Koordinatensystem vor mit x-, y- und z-Achse vor.
- Die x-Achse kommt horizontal (waagrecht) auf dich zu.
- Die y-Achse geht horizontal (waagrecht) von links nach rechts.
- Die z-Achse geht senkrecht von unten nach oben.
- Wir denken uns eine Kugel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
- Der Koordinatenursprung ist der Punkt (0|0|0).
- Der Radius der Kugel sei R.
- Die Kugel schneidet die x-Achse bei (R|0|0).
- Diesen Punkt nennen wir den Punkt X.
- Die Kugel schneidet die z-Achse bei (0|0|R).
- Diesen Punkt nennen wir Z.
Erdkugel
- Die Gedankenskizze kann auch als Erdkugel gedacht werden.
- Die Breitengrade der Erde verlaufen dann parallel zur x-y-Ebene.
- Die Erdmitte liegt im Punkt (0|0|0).
- Der Nordpol liegt im Punkt (0|0|R).
- Der Südpol liegt im Punkt (0|0|-R).
Vorbereitung
Beginnen wir mit der Breite der Breitengradstreifen. Mit Breite ist hier gemeint, wie weit das südliche vom nördllichen Streifenende entfernt ist. Wenn wir den Strahl S mti seinem Durchstoßpunkt D gedanklich vom Äquator zum Nordpol laufen lassen, dann wollen wir gedanklich immer einen möglichsten schmalen Breitengradstreifen hinzuaddieren. Der Winkel alpha von S mit der Äquatorebene wird dabei in kleinen Schritten immer um delta(alpha) vergrößert. Wir gehen also mit S in delta(alpha)-Schrittchen vorwärt. Fasst man das Winkelmaßvon alpha im Bogenmaß auf, dann ergibt sich aus der Definition des Bogenmaßes, dass die Breite des hinzukommenden Breitengradstreifens gleich dem Produkt aus dem Kugelradius und delta(alpha) ist. Damit haben wir einen Term für die Breitengradbreite. Jetzt fehlt noch ein Term für die Länge des Breitengradstreifens. Mit Länge ist hier die Strecke gemeint, die vom Durchstoßpunkt D des Strahls S einmal um die Kugel herum bis wieder zu diesem Punkt führt. Dabei muss die Strecke auf der Kugeloberfläche entlang eines Breitengrades verlaufen. Diese Länge ist also identisch mit dem Umfang des Streifens. Nun hat der Breitengradstreifen zwei "Umfänge". Der mehr zum Äquator hin ist immer etwas größer als der zum Pol hin. Je dünner der Streifen aber gedacht wird, desto mehr kann dieser Unterschied vernachlässigt werden. Es wird hier also nur der Umfang des Breitengrades betrachtet, der auf dem Durchstoßpunkt D des Strahles S liegt und damit zum Winkel alpha gehört. Über den Cosinus des Winkels alpha kann der Radius des Breitengrades bestimmt werden. Das geht so: Man denke sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden drei Ecken: (0|0|0), der Durchstoßpunkt D auf auf der Kugeloberfläche und der Lotfußpunkt von D auf die x-Achse. Die Entfernung vom Koordinatenursprung bis zu diese Lotfußpunkt ist gleich dem Radius des Breitengradstreifens. Diese Entfernung ist aber auch gleich dem Produkt aus dem Cosinus von alpha mit dem Kugelradius r. Als näherungsweisen Flächeninhalt des Breitengradstreifens können wir jetzt seine Breite mit seiner Umfangslänge multiplizieren.
Breitengradfläche = [Breite] * [Umfangslänge]
Breitengradfläche = [delta(alpha)*r] * [2]" title="Zur Fußnote (Quellen und Hintergründe) "style="color: black;"> [2*Pi*cos(alpha)*r]
Integration
Nun können wir die Breitengradfläche vom Winkel alpha=0 bis alpha=90 Grad integrieren. Die Integrationsvariable ist dann alpha. Die Stammfunktion vom Cosinus ist der Sinus. Also ergibt sich als bestimmtes Integral:
Breitengradfläche = 2*Pi*r^2*sin(alpha) in den Grenzen von alpha = 0 bis alpha = 90 Grad. Mit den eingesetzen Integrationsgrenzen ergibt dies 2*Pi*r^2 für die Halbkugel und 4*Pi*r^2 für die gesamte Kugel. Das aber ist genau der Term aus der Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel mit dem Radius r.