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Zweite Ableitung


f''(x)


Basiswissen


f(x)=2x³ einmal abgeleitet gibt f'(x)=6x². Das noch einmal abgeleitet gibt f''(x)=12x. Das ist die zweite Ableitung f''(x) der ursprünglichen Funktion. Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, wo der Graph von f(x) links- und wo er rechtsgekrümmt ist. Zudem hilft sie zu entscheiden, welche Art von Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt?) vorliegt. Beide Themen sind hier näher erklärt.

Eine wichtiger Unterschied vorab: Wert oder Funktion?


Das Wort Ableitung wird in zwei ähnlichen aber leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Für f(x)=x² ist f'(x)=2x die sogenannte Ableitungsfunktion. Und f'(4)=8 ist der sogenannte Ableitungswert, auch Steigung genannt, an der Stelle x=4. Beides, die Ableitungsfunktion wie auch den Ableitungswert an einer Stelle nennt man kurz oft Ableitung. In diesem Artikel steht Ableitung für die Ableitungsfunktionen f'(x) und f''(x). Siehe mehr dazu unter Ableitungsfunktion ↗

Definition



Sprech- und Schreibweisen



Die zweite Ableitung im Vergleich mit der ersten Ableitung



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Die zweite Ableitung und die Richtung der Krümmung[1]



Die zweite Ableitung und die Stärke der Krümmung



Die zweite Ableitung und Extrempunkte



Die zweite Ableitung und Wende- sowie Sattelpunkte



Berechnung der zweiten Ableitung



Rechenbeispiel zur zweiten Ableitung



f(x)=x⁴ als problematischer Sonderfall



Zusammenfassung





Fußnoten