Zerfallsgesetz
Anschaulich
Basiswissen
Als Zerfallsesetz bezeichnet man in der Physik Gleichungen, die eine exponentielle Abnahme beschreiben. Das klassische Beispiel ist der radioaktive Zerfall. Typisch für solche Prozesse ist, dass in einer bestimmten Zeitdauer immer derselbe Anteil an Atomen zerfällt.
Formel
- N(t) = N₀·e^(-λ·t)
Legende
- N(t) = zum Zeitpunkt t noch vorhandene Atomkerne Bestandswert ↗
- N₀ = am Anfang zu t=0 vorhandene Atomkerne Startwert ↗
- λ = Bruchteil der pro Zeiteinheit zerfällt Zerfallskonstante ↗
- t = Zeit seit Beginn der Beobachtung Beobachtungsdauer (externer Link)
Mathematische Beschreibung
Die Formel N(t) = N₀·e^(-λ·t) ist mathematisch gesprochen eine Exponentialfunktion mit der Basis e, kurz auch als e-Funktion bezeichnet. Das kleine griechische Lambda, λ ist der Bruchteil der pro Zeiteinheit von t zerfällt, auch Zerfallskonstante genannt. Der Funktionswert erreicht niemals 0, nähert sich aber der 0 immer mehr an. Es handelt sich allgemein gesprochen um ein nach unten beschränktes Wachstum ↗
Muss das Zerfallsgesetz eine e-Funktion sein?
Nein, aber es ist die übliche Art der Angabe: ein Zerfallsprozess mit konstantem Faktor, also eine exponentielle Abnahme, kann auch mit einer Exponentialfunktion mit beliebiebiger Basis geschrieben werden. Das Wort Zerfallsgesetz bezieht sich normalerweise auf die Darstellung als e-Funktion. Lies mehr unter erweiterte e-Funktion ↗
Wie wandelt man um in eine e-Funktion?
Allgemein: a·b^x = a·e^(x·ln(b)). Dazu ein Beispiel: man würfelt mit zunächst 200 Würfel gleichzeitig. Alle ungeraden Zahlen werden dann aussortiert. Mit den verbliebenen Würfeln würfelt man erneut und setzt den Prozess fort. Mit jedem Wurf "zerfällt" damit in etwa die Hälfte der vorher noch vorhandenen Würfel. Der Wachstumsfaktor ist also 0,5. Als Exponentialfunktion: f(x)=0,5^x. Dabei ist f(x) die Anzahl der verbliebenen Würfel nach dem x-ten Wurf. Dieselbe Funktion kann man auch als e-Funktion schreiben, nämlich als f(x) = e^(x·ln(0,5)). Mehr zur Umrechnung unter Potenzbasis umwandeln ↗
Warum ist die e-Funktion die übliche Angabe?
Das hat zwei Gründe: a) lässt sich eine e-Funktion mit weniger Rechenaufwand ableiten als eine allgemeine nicht-e-Exponentialfunktion. Zum zweiten b) erlaubt es die gemeinsame Basis e, alle Vergleiche verschiedener Funktionen alleine über den Exponenten zu machen. Ist die Basis immer nur e, enthält der Exponent alle Informationen über das Steigungsverhalten. Lies dazu unter anderem Zerfallskonstante ↗
