Zeitdilatation


Formel für die Ausdehnung der Zeit


Basiswissen


Bewegen sich zwei Bezugssysteme relativ zueinander, muss die Zeit von einem zum anderen System umgerechnet werden. Man kann eines der beiden Systeme als ruhend annehmen (es ist egal welches). Die im ruhenden System bekannte Zeit für bestimmte Prozesse kann dann in die dafür benötigte Zeit im anderen (bewegten) System umgerechnet werden:

Formel


◦ Tr = To·γ

Legende


◦ To = Zeit im Koordinatensystem, das sich mit dem Objekt bewegt
◦ Tr = Zeit im Koordinatensystem, in dem sich das Objekt bewegt
◦ γ = 1/Wurzel(1-v²/c²), der => Lorentzfaktor

Beispiel nach Einstein [1]


Eine Uhr befindet sich im Nullpunkt eines Koordinatensystem, in dem sie selbst ruht, sich also nicht bewegt. In diesem Koordinatensystem misst man die Zeit To = 1s zwischen zwei Ticken. Diese Zeit nennt man auch die Eigenzeit. Nun bewege sich die Uhr mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit, also v=0,8c, relativ zu einem anderen Koordinatensystem. γ ist damit 5/3 (Formel für Lorentzfaktor). In dem anderen Koordinatensystem misst man die Zeit Tr zwischen zwei Ticks. Nach der Formel Tr=To·γ ergibt sich dann für diese Zeit: 5/3 Sekunden oder etwa 1,7 Sekunden.

Deutung


Eine Sekunde aus Sicht der Uhr wären 1,7 Sekunden für jemanden, in dessen Koordinatensystem sich die Uhr mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit bewegt. Für einen solchen Beobachter wirkt die Zeit ausgedehnt - dilatiert. Die kürzeste Zeit ist immer die, die in einem Koordinatensystem ruhend zum beobachteten Objekt gemessen wird.

Beispiel Myonenzerfall


Von der Erde aus kann man beoachten, dass in der höheren Atmosphäre Teilchen, sogenannten Myonen, entstehen. Sie können sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit c bewegen. Man kann als realistische Geschwindigkeit der Myonen relativ zum Erdbeobachter zum Beispiel 0,99c, also 99 % der Lichtgeschwindigkeit annehmen. Diese Geschwindigkeit v ist in m/s: 296794575. Über t=s/v kann man die benötige Flugzeit für 2000 Meter berechnen: das wären dann 2000/296794575 Sekunden ≈ 0,0000067386676457951 Sekunden als Wert für Tr aus Sicht des Beobachters auf der Erde. Nun wird berechnet, wie lange diese Zeit Tb aus Sicht des Myons selbst dauert. Der Lorentzfaktor γ liegt für 0,99c bei 7.0921. Das heißt Tb ist etwa 0,00000095016534535541 Sekunden oder gut ein Siebtel der Zeitdauer des Erdbeobachters. Das heißt: vom Myon selbst aus gesehen dauert die Flugzeit um ein Vielfaches weniger als für einen Erdbeobachter. Siehe auch => Myon

Literatur


◦ [1] Albert Einstein: Über die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Ersterscheinung: 1916