Zaunlängenminimierung über Tiefpunkt
Analysis
Basiswissen
Eine anschauliche, klassische Optimierungsaufgabe mit Hilfe der Analysis: ein Grundstück mit vorgegebenem Flächeninhalt soll so als Rechteck gestaltet werden, dass möglichst wenig Zaun für die Umzäunung nötig ist.
Ausführliche Aufgabenstellung
Durch eine Landschaft fließe ein gerader Fluss. Entlang des Flusses soll eine rechteckige Pferdekoppel mit einem Flächeninhalt von genau zwei Hektar angelegt werden. Einen Hektar nennt man den Flächeninhalt den ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 100 Metern hat, also Zehntausend Quadratmeter. Der Fluss bilde eine wirksame Grenze für die weidenden Tiere. Entlang des Flusses muss kein Zaun errichtet werden. Die restlichen drei Seiten sollen einen Zaun erhalten. Als Breite der Koppel gelte die Länge der senkrecht auf den Fluss zuführenden Seiten. Ist die Koppel beispielsweise 5000 Meter lang, dann wäre ihre Breite 4 Meter. Die Frage ist nun, ob es eine Breite der recktigen Koppel gibt, bei der die Länge des nötigen Zaunes minimial (so klein wie möglich) wird. Diese Frage kann man mit Hilfe der Analysis gut beantworten.
Tipp
Erstelle zunächst eine Funktionsgleichung für die Zaunlänge in Abhängigkeit der Koppelbreite. Die Zaunlänge zu minimieren bedeutet dann, das Minimum dieser Funktion zu finden.
Anschaulich lösen
Man kann die Aufgabe auch praktisch an einem einfachen Beispiel mit Holzwürfeln bearbeiten. Beim praktischen Tun kommen dann oft gute weitere Ideen, auch für theoretische Lösungsansätzte. Siehe dazu unter Kiste 23 Zaunlängenminimierung über Probieren ↗
Aufgaben zur Optimierung
Einige Aufgaben als Fragen zur Selbstkontrolle sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu allen Fragen gibt es auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck