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Winkel zwischen Geraden und Ebenen


Vektorrechnung


Grundidee


Angenommen, eine Gerade geht durch eine Ebene. Beide sind üblicherweise in einem 3D-Koordinatensystem dargestellt. Man kann dann einen Schnittwinkel definieren und über gegebenen Gleichungen diesen Winkel auch berechnen. Beides ist hier kurz vorgestellt.

Definition des Schnittwinkels


Als Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der kleinstmögliche Winkel definiert, den man zwischen der gegebenen Geraden und einer geeignet auszuwählenden Geraden aus der Ebene selbst bilden kann. Die Grundidee ist es dabei, dass man eine Gerade sucht, die in der Ebene liegt und die letzendlich einen möglichst kleinen Winkel mit der gegebenen schneidenden Gerade bildet.

Der Schnittwinkel anschaulich


Als Ebene kann man sich zum Beispiel die Tischebene eines großen flachen Tisches vorstellen. Auf diesen Tisch stellt man dann zum Beispiel einen langen dünnen Bleistift. Mit Hilfe von Knete (gedacht oder echt) befestigt man den Bleistift auf der Tischfläche und kippt ihn dann etwas. Der Bleistift soll dann etwas schräg auf der Tischebene stehen, wie zum Beispiel der schiefe Turm von Pisa auf dem Boden. Dieser Bleistift ist die schneidende Gerade. Nun nimmt man einen zweiten ebenfalls sehr dünnen Bleistift und legt ihn auf die Tischfläche. Das ist eine gedachte Gerade in der gegebenen Ebene. Dann schiebt man den Bleistift in der Tischebene so an den schrägen Bleistift, dass man zwischen diesen beiden Stiften ihren Schnittwinkel erkennen kann. Diesen Winkel kann man (gedanklich) notieren. Jetzt dreht man den Bleistift in der Tischebene so, dass dieser Schnittwinkel möglichst klein wird. Der kleinstmögliche Winkel, den man so bilden kann ist der Winkel zwischen der Geraden (schräger Bleistift) und der Ebene (Tischfläche). Siehe allgemein auch Schnittwinkel ↗

Grundidee zur Berechnung des Schnittwinkel


Die Grundidee zur Berechnung des oben definierten Schnittwinkel ist folgende: man berechnet den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der gegebenen Geraden und einem Normalenvektor der Ebene. Dann rechnet man 90° minus diesen Winkel. Das Ergebnis ist der gesuchte Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene.

Wie findet man einen Normalenvektor?



Wie berechnet man den Winkel zwischen Vektoren?


Der erste Schritt zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene ist die Berechnung des Winkels zwischen einem Normalenvektor der Ebene (siehe oben) und dem Richtungsvektor der gegebenen Geraden. Für die Berechnung dieses Winkels gibt es eine Standard-Formel mit dem Skalarprodukt und dem Cosinus. Der Winkel ist der Arcuscosinus (cos hoch -1) des Quotienten aus dem Skalarprodukt der beiden Vektoren und dem Produkt der beiden Vektorbeträge. Das ist ausführlich erklärt unter Winkel zwischen Vektoren ↗

Was ist der letzte Rechenschritt?


Hat man den Winkel zwischen einen Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden berechnet, zieht man diesen Winkel am Ende nur noch von 90° ab. Man rechnet als 90° minus den vorher gefunden Winkel. Das Ergebnis dieser Rechnung ist dann der gesucht Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.