Vektorraum
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Basiswissen
Ein Vektorraum im engeren Sinn besteht aus einer Menge von Vektoren und einer Zahlenmenge (z. B. die reellen Zahlen) für die gemeinsam bestimmte Rechenregeln formuliert sind. Die schulmathematische Vektorrechnung arbeitet mit einem Vektorraum. In der höheren Mathematik wird der Begriff aber stark erweitert.
Einführung
Schrittweise erläutert werden soll die folgende Definition (Bronstein, 10. Ausgabe): Ein Vektorraum ist immer über Körper K definiert. Er besteht aus einer additiv geschriebener Abelschen Gruppe von Vektoren V und und einem Körper K von Skalaren und einer äußeren Multiplikation K x V, die jedem geordneten Paar (k,v) einen Vektor kv mit kv Element V zuordnet. Die hier verwendeten Begriffe werden nun schrittweise erklärt.
??? Meint äußere Multiplikation hier Kreuzprodukt?
??? Oder meint es zum Beipiel, dass das Produkt nicht mehr notwenidgergweise innerhalb des Körpers K liegt?
Vektor
Ein klassischer Vektor wird veranschaulicht als ein Pfeil. Eindeutig gekennzeichnet wird er über eine Liste von Zahlen, seine Komponenten. Zum Beispiel steht (2|4) für einen Vektor. In der höheren Mathematik wird der Begriff verallgemeinert: ein Vektor ist dann jede Liste von Zahlen, bei denen die Reihenfolge der Zahlen wichtig ist. Der Fachbegriff für solch eine Liste ist Tupel. Die Liste (2|4|5) wäre zum Beispiel ein Vektor und (5|4|2) wäre ein anderer Vektor. Man beachte die Abgrenzung zur Menge: die Mengen (2,4,5) und (5,4,2) sind identisch, da man bei Mengen die Reihenfolge nicht beachtet. Bei Vektoren aber ist die Reihenfolge wichtig. Wir halten fest: jede Liste von Zahlen bei der die Reihenfolge beachtet wird, kann als Vektor betrachtet werden. Die Veranschaulichung als Pfeil ist dabei möglich, aber nicht nötig.
Ganzrationale Funktion als Vektor
- Jede Funktion, die man umformen kann in die Form unten heißt ganzrational:
- f(x) = aₙ·xⁿ + aₙ₋₁·xⁿ⁻¹ + + a₂·c·x² + a₁·x¹ + a₀
- Die Potenzen von x steigen dabei von links nach rechts ab.
- Kennt man den Grad der Funktion (höchste Potenz von x), kann man die Potenzen weglassen.
- f(x) = 8·x⁵ + 5·x⁴ + 7x³ + 4·x² + 6·x¹ + 1·x⁰ kann kurz gefasst werden als:
- (8|5|7|4|6|1), da man weiß, welche Potenzen von x von links nach rechts gemeint sind.
- Diese Liste von Koeffizienten kann als Vektor aufgefasst werden.
- Damit kann man ganzrationale Funktionen als Vektoren denken.
Komplexe Zahl als Vektor
- Komplexe Zahlen kann man in der Form ai+b schreiben.
- Das i (imaginäre Einheit) steht immer an derselben Stelle.
- Lässt man es weg (sein Platz ist klar) erhält man die Liste (a,b).
- Jede Zahlenliste mit Beachtung der Reihenfolge, kann als Vektor aufgefasst werden.
- Also kann man jede komplexe Zahl auch als Vektor denken.
Abelsche Gruppe
Die Vektoren aus der Menge V sollen laut Definition eine additiv geschriebene Abelsche Gruppe bilden. Abelsch nennt man algebraische Gruppen bei denen die Verknüpfung ihrer Elemente zusätzlich zu anderen Axiomen auch noch kommutativ ist:
Die Vektoren eines Vektorraumes bilden bezüglich der Addition eine Abelsche Gruppe. Das heißt: Es gibt ein neutrales Element, nämlich den Nullvektor. Es gibt ein inverses Element, nämlich den Vektor mit überall negierten (Vorzeichen umgedrehten) Komponenten. Es gilt das Kommutativgesetzt: a+b = b+a, wenn a und b Vektoren sind.
??? Was ist der neutrale Element der Vektoraddition?
??? Was ist ein Beispiel für ein Inverses Element der Vektoraddition?
??? Zeige an einem Beipiel die Assoziativität der Vektoradditon.
??? Zeige an einem Beipiel die Kommutativität der Vektoradditon.
??? Was würde passieren, wenn eine der Eigenschaften der Abelschen Gruppe nicht gegeben ist?
Für die skalare Multiplikation (ist verschieden vom Skalarprodukt) der Vektoren aus V mit den skalaren Elementen des Körpers K müssen folgende Regeln erfüllt ein:
- S1: a·(u+v) = (a·u)+(a·v
- S2: (a+b)·v = (a·v)+(b·v
- S3: (a·b)·v = a·(b·v)
- S4: 1·v=v (Neutralität des Einselementes)
Liegen V1 bis V4 und S1 bis S4 vor, ist ein Vektorraum gegeben.
Skript LA von FH
- Zahlenpaar = Punkt in Ebene: alles zusammen ist Zahlenraum
- Ebene = Zahlenraum R2
- Raum = Zahlenraum R3
- Skript entwickelt Vektorraum vom Zahlenraum aus ...