Spannarbeit über Integralrechnung
Anleitung
Basiswissen
W = ∫F(s)·ds ist die Formel zur Berechnung der Spannarbeit mit Hilfe eines Integrals. Die einfache Formel W=½·D·s² (Hookesches Gesetz) kann nicht verwendet werden, wenn der Wert für die Federkonstante D nicht konstant ist. Das ist zum Beispiel bei vielen Gummibändern und Seilen der Fall. Für diesen Fall muss man eine Funktionsgleichung für D in Abhängigkeit von s bestimmen und dann integrieren. Das ist hier mit einem realen Beispiel kurz vorgerechnet.
Formel
- W = ∫F(s)·ds
Legende
- W = Spannarbeit, zum Beispiel in Nm ↗
- s = Spannweg oder Federweg
- ∫ = Hier ein bestimmtes Integral ↗
Erläuterung
- Bei manchen Federn gibt es eine Federkonstante:
- Die Kraft, mit der man zieht, ist proportional zur dadurch hinzugewonnen Länge.
- Diese Proportionalität ist aber eher die Ausnahme als die Regel.
- Bei vielen Federn und Gummis ändert sich die Zugkraft mit der Länge deutlich.
- Die dazu nötigen Funktionsgleichungen werden oft nur über Versuche ermittelt.
- Die Funktion, die zu jeder Länge s die momentane Kraft F gibt ist F(s).
- Diese Funktionsgleichung integriert man von der Startlänge als untere Grenze ...
- bis zur Endlänge als obere Grenze. Der Wert des Integrals ist dann die Spannarbeit.
- Man muss also ein bestimmtes Integral berechnen ↗
Beispiele
- Man hat einen Gummi und macht einen Gummibandversuch:
- Ruhelänge ohne ziehende Kraft: 28 cm
- Dehnung um 1 cm ≙ 1,0 N
- Dehnung um 2 cm ≙ 1,4 N
- Dehnung um 3 cm ≙ 1,8 N
- Dehnung um 4 cm ≙ 2,0 N
- Dehnung um 8 cm ≙ 2,8 N
- Näherung: F(s) = 0,4·s²-0,9·s+1,8
- Spannenergie von 2 cm bis 8 cm:
- W = ∫(0,4s²-0,9s+1,8)·ds
- Mit unterer (linker) Grenze: a=2
- Mit oberer (rechter) Grenze: b=8
- Aufleiten: 0,4s³:3 + 0,9s²:2 + 1,8s
- Vereinfachen: W ≈ 0,13x³ + 0,45s² + 1,8s
- Bestimmtes Integral berechnen: F(b)-F(a)
- W ≈ 110-6,44 ≈ 104 Newtonzentimeter
- W ≈ 0,1 Newtonmeter
Was ist der Gummibandversuch?
Ein Gummiseil ist anfänglich etwa einen Meter lang. Es ist oben an einem Haken befestigt und hängt von dort frei nach unten herab. Dann hängt man unten nach und nach immer schwerere Gewichte an das Seil. Man misst die dadurch neu dazukommende Länge des Seils. Verblüffenderweise lässt sich das Seil mit zunehmender Länge immer leichter noch länger machen. Um die Spannarbeit zu berechnen benötigt man eine Funktion für die nötige Kraft in Abhängigkeit der bereits erreichten Gesamtlänge. Für originale Versuchsdaten siehe unter Kiste 18 Gummibandversuch Daten ↗