Schnittgeraden von Ebenen mit Ebenen
Arten
Basiswissen
Ebene als gerade Flächen können sich untereinander schneiden, man sagt auch durchdringen. Dabei entstehen unendlich viele Schnittpunkte, die als Ganzes eine Schnittgerade ergeben. Wenn die Ebenen weder parallel noch identisch sind, gibt es immer genau eine Schnittgerade. Hier ist kurz vorgestellt, wie man diese berechnen kann.
Schnittgeraden zweier Ebenen in Koordinatenform
Zum Beispiel: x+y-z=1 und 4x-y-z=3: wenn man die zwei Ebenen mit je einer Gleichung in Koordinatenform gegeben hat, fasst man die zwei Gleichungen zusammen als ein Gleichungssystem auf. Dabei hat man insgesamt drei Unbekannte aber nur zwei Gleichungen. Die Lösung wird damit nicht eindeutig einen Punkt ergeben. Die Mehrdeutigkeit des Ergebnisses macht aber Sinn, da ja unendliche viele Schnittpunkte als Lösung letztendlich die gesucht Schnittgerade ergeben.
- Die Grundidee der Lösung besteht aus zwei Teilen.
- Gegebeben sind zwei Gleichungen als Koordinatenform der Ebene [ax+by+cz=e] ↗
- Gesucht ist die Schnittgerade als Paramterform der Geraden (externer Link) [x=p+r·u]
- Zum Beispiel: Ebene 1 als x+y-z=1 und Ebene 2 als 4x-y-z=3.
- Man fasst die zwei Gleichungen zusammen zu einem LGS ↗
- Das LGS hat eine Unbekannte mehr (nämlich 3) als es Gleichungen gibt.
- Damit ist das LGS nicht eindeutig lösbar, es gibt (unendlich) viele Lösungen.
- Um das LGS so weit wie möglich zu lösen, wählt man eines von drei Verfahren aus:
- Das Additions-, das Gleichsetzung oder alternativ das Einsetzungsverfahren ↗
- Man löst das LGS jetzt einmal nach y und einmal nach z auf.
- Man erhält im Beispiel: y=1,5x-1
- Man erhält im Beispiel: z=2,5x-2
- Es genügt, wenn man an dieser Stelle im Lösungsverfahren eine Beziehung zwischen zwei Unbekannten hat.
- Man kann nun für x irgendeine beliebige Zahl einsetzen.
- Damit hat man einen Wert für x.
- Dann rechnet man mit diesem x-Wert jeweils den y und z-Wert aus.
- Die drei Werte zusammen ergeben einen Punkt.
- Für zum Beispiel x=0 kriegt man den Punkt: (0|-1|-2)
- Für zum Beispiel x=2 kriegt man den Punkt: (2|2|3)
- Jetzt hat man zwei Punkte der gesuchten Geraden.
- Ab hier weiter mit Parameterform der Geraden aus zwei Punkten ↗
Schnittgeraden zweier Ebenen, Sonderfall der Spurgeraden
Hat man eine Ebene in einem 3D-Koordinatensystem gegeben, so kann diese Schnittgeraden mit jeder der drei Koordinatenebenen bilden. Für jede der drei Koordinatenebene entsteht dann eine Spurgerade ↗