Satz von Vieta
Quadratische Gleichungen
Basiswissen
Hat man eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform 0=x²+px+q und sind x1 und x2 Lösungen dieser Gleichungen, dann gilt immer: x1+x2 = -p und x1·x2=q. Das ist hier mit Worten erklärt.
Zahlenbeispiel
- 0 = x² + px + q (allgemein)
- 0 = x² - 5x + 6 (als Beispiel)
- Das p ist damit die Zahl -5.
- Das q ist die Zahl 6.
- Nach Vieta muss dann gelten: 3·2 = -p, also -5 ✔
- Und 3·2 muss auch q ergeben: 3·2 = q, also 6 ✔
In Worten erklärt
Die zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung aufaddiert ergeben immer die Gegenzahl des Koeffizienten p, also der Zahl vor dem x ohne Quadrat. Die beiden Lösungen multiliziert ergeben immer das Absolutglied, also die Zahl q ohne jedes x.
Nutzen des Satzes
Der Satz des Vieta wird vor allem gerne rückwärts angewandt: man denkt sich zwei beliebige Zahlen als Lösungen einer quadratischen Gleichung aus. Dann kann man mit dem Satz die Werte für p und q leicht berechnen und die dazugehörige Gleichung aufschreiben. Dazu hier einige Beispiele.
Beispiele für den Satz rückwärts angewandt
- Lösungen: 1 und 2 ⭢ p = -3 und q = 2 ⭢ 0 = x²-3x+2
- Lösungen: 2 und 3 ⭢ p = -5 und q = 6 ⭢ 0 = x²-5x+6
- Lösungen: 2 und 4 ⭢ p = -6 und q = 8 ⭢ 0 = x²-6x+8
- Lösungen: 3 und 3 ⭢ p = -6 und q = 9 ⭢ 0 = x²-6x+9
- Lösungen: 3 und 5 ⭢ p = -8 und q = 15 ⭢ 0 = x²-8x+15
- Siehe auch pq-Formel ↗