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Satz von Bayes


…|B) = [P(B|A)·P(A)]/[P(B)]


Basiswissen


Mit dem Satz kann man aus einer gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) die umgekehrt gedachte bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) berechnen. Das ginge auch ohne den Satz des Bayes, etwa über die Umkehrung eines Baumdiagrammes, wäre dann aber erheblich viel aufwändiger.

Der Satz von Bayes


P(A|B) = [P(B|A)·P(A)]/[P(B)]

Legende



Zweck des Satzes von Bayes


Der Satz von Bayes verbindet zwei unterschiedliche bedingte Wahrscheinlichkeiten in einer Formel. Kennt man eine bedingte Wahrscheinlichkeit, kann man die andere durch Umstellen der Formel oft bestimmen. Siehe auch Formeln umstellen ↗

Beispiel Konsumforschung


Angenommen Konsumforscher hätten Befragungen unter Konsumenten durchgeführt. Dabei haben sie festgestellt: die Wahrscheinlichkeit P(A), dass ein Konsument gerne Kaffee trinkt sei 0,4. Die Wahrscheinlichkeit P(B), dass ein Konsument gerne Süßigkeiten isst, sei 0,6. Die Wahrscheinlichkeit P(B|A), dass ein Kaffeeliebhaber auch gerne Süßigkeiten esse sei 0,7. Daraus kann man die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) berechnen, dass ein Süßigkeitenliebhaber auch gerne Kaffe trinke. Über die Bayes-Formel erhält man: P(A|B) = 0,47 (gerundet). In Sprache: Kaffeliebhaber neigen oft auch zu Süßigkeiten. Süßigkeitenliebhaber hingegen neigen weniger stark zu Kaffee. Siehe auch bedingte Wahrscheinlichkeit ↗

Beispiel Robotik


Ein Roboter soll über einen Infrarotsensor erkennen, ob eine Tür offen ist oder nicht. Dabei hat der Sensor ein sogenanntes Rauschen, seine Werte sind nicht immer zuverlässig. Für einen konkreten Roboter und eine konkrete Raumsituation ergibt die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten: unter der Bedingung, dass die Tür geöffnet ist, zeigt der Senor in 60 % der Fälle auch an dass sie geöffnet. Das heißt im Umkehrschluss, dass der Sensor bei offener Tür in 40 % der Fälle anzeigt, dass sie geschlossen ist. Zuverlässiger arbeitet der Sensor bei geschlossener Tür: hier zeigt er in 80 % der Fälle an, dass sie geschlossen ist. Nur in 20 % der Fälle zeigt er fälschlicherweise eine offene Tür an. Die interessante Frage ist nun: mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Roboter richtig, wenn er eine offene Tür misst und er daraufhin auch annimmt, dass die Tür wirklich offen ist? Um diese Frage zu beantworten, wird der Satz von Bayes verwendet.[2]

Fußnoten