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Satz des Pythagoras


a² + b² = c²


Basiswissen


Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit drei Seiten: a, b und c. c ist dabei die längste Seite. Man misst die Länge jeder der drei Seiten. Dann multipliziert man die Länge jeder Seite mit sich selbst. Man erhält drei Zwischenergebnisse: a², b² und c². Dann addiert man a² und b². Die daraus entstehende Summe ist immer gleich (oder sehr nahe bei) c². Kurz: a²+b² = c²

Einführung zum Satz des Pythagoras


Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreicke (genau ein 90°-Winkel) und alle rechtwinkligen Dreiecke. Er besagt: multipliziert man die Längen der beiden kürzeren Seiten (Katheten) mit sich selbst und addiert diese Zwischenergebnisse zusammen, erhält man immer dasselbe Ergebnis wie bei der Multiplikation der längsten Seite (Hypotenuse) mit sich selbst. Mit Hilfe dieser Formel genügt es, bei einem rechtwinkligen Dreieck die Länge von zwei Seiten zu kennen. Man kann dann die Länge der dritten Seite immer berechnen.

Formel für den Satz des Pythagoras



Legende



Was sind die Katheten (a und b) und was die Hypotenuse (c)?



Der Satz des Pythagoras rein rechnerisch



Der Satz des Pythagoras geometrisch gedeutet



Was ist der Nutzen dieses Satzes?



Wie berechnet man die Länge der Hypotenuse?



Wie berechnet man die Länge einer der beiden Katheten?



Gilt der Satz des Pythagoras immer?


Solange man rechtwinklige Dreiecke auf flachen, ungekrümmten Flächen zeichnet, etwa auf einem glatten Stück Papier auf einem Tisch, dann stimmt der Satz immer. Interessant ist jetzt ein Gedankenexperiment, bei dem der Satz zunehmend nicht mehr stimmt. Man stellt sich die Erde als völlig perfekte Kugel vor. Wir leben dann gedanklich auf dieser Kugeloberlfäche. Nun zeichnen wir ein kleines rechtwinkliges Dreieck. Wenn wir die Seitenlängen messen und damit den Satz des Pythagoras überprüfen wird er (abgesehen von kleinen Messungenauigkeiten) immer sehr gut aufgehen, also stimmen. Machen wir das Dreieck aber gedanklich sehr groß, dann geht die Gleichung immer schlechter auf. Der Grund ist dass war nicht auf einer glatten ebenen Fläche zeichnen, sondern auf einer gekrümmten Kugeloberfläche[1]. Tatsächlich gibt es ein großes Gebiet der Geometrie, das sich mit Figuren auf Kugeloberflächen beschäftigt. Das ist die sogenannte sphärische Geometrie. Ein sehr interessanter Fall zu diesem Gedanken ist das von uns so genannte Galapagos-Dreieck ↗

Aufgaben zum Satz des Pythagoras



Fußnoten