Quadratische Gleichungen über pq-Formel
-p/2 ± √[(p/2)²-q]
Basiswissen
0 = x²-8x+15 ist ein Beispiel für eine quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform. Das kleine p ist hier die Zahl -8 und q die Zahl 15. Mit der pq-Formel erhält man dann die Lösungen jeder quadratischen Gleichung in Normalform.
Kurzbeispiel
- 0 = x²-8x+15
- p=-8 und q=15
- Formel: -p/2 ± √[(p/2)²-q]
- p und q einsetzen gibt:
- -(-8)/2 ± √[(8/2)²-15]
- Vereinfachen gibt:
- 4 ± √[16-15]
- x1 = 3 ✔
- x2 = 5 ✔
Wofür braucht man die Formel?
- Die pq-Formel funktioniert nur für quadratische Gleichungen.
- Mit ihr kann man alle quadratischen Gleichungen lösen.
- Lies mehr unter quadratische Gleichung ↗
- Die Gleichung muss in der Normalform vorliegen.
Was ist die Normalform?
- Die Gleichung muss in der sogenannten Normalform vorliegen.
- So sieht die Normalform aus: 0 = x² + px + q
- Links steht eine 0, dann kommt das Gleichzeichen.
- Das kommt sofort das x² ohne irgendetwas davor.
- Vor dem x² darf weder eine Zahl noch ein Minuszeichen stehen.
- Nach dem x² darf (muss aber nicht) plus oder minus ein Vielfaches von x kommen.
- Am Ende darf plus oder minus irgendeine Zahl kommen.
- Hat die Gleichung noch nicht diese Form, kann man sie immer umformen.
- Wie das geht steht unter Normalform für pq-Formel ↗
Wozu braucht man die Normalform?
- Aus ihr liest man die Zahlen für p und q ab:
- Das p ist der Faktor (Malzahl) vor dem x.
- Das q ist die alleinstehende Zahl ohne x.
- Tipp 1: die Vorzeichen gehören zu den Zahlen.
- Tipp 2: wenn es keinen Term nur mit x gibt, dann ist p=0.
- Tipps 3: wenn es keinen Term ohne x oder x² gibt, dann ist q=0.
- Beispiel: bei 0=x²-4x+3
- p = -4
- q = 3
Wie lautet die Formel?
- Erste Nullstelle: -p/2 + Wurzel aus [(p/2)² - q]
- Zweite Nullstelle: -p/2 - Wurzel aus [(p/2)² - q]
Gibt es immer Lösungen bzw. Nullstellen?
Nein. Die pq-Formel kann null, eins oder auch zwei verschiedene Zahlen als Lösungen ergeben. Alle Fälle sind möglich. Das kann man aber vorher am Anfang noch nicht erkennen. Man erkennt es aber spätestens, wenn man den Term unter dem Wurzelzeichen, den Radikanden, ausgerechnet hat:
- Was unter der Wurzel steht heißt allgemein Radikand.
- Bei der pq-Formel nennt man den Radikanden auch Diskriminante.
- Ist die Diskriminante ausgerechnet > 0 gibt es zwei Lösungen/Nullstellen.
- Ist die Diskriminante ausgerechnet = 0 gibt es genau eine Lösung/Nullstelle.
- Ist die Diskriminante ausgerechnet < 0 gibt es gar keine Lösung/Nullstellen.
Was sind häufige Fehler?
- Vor dem x-Quadrat steht noch ein Faktor (darf bei Normalform nicht sein).
- Das Vorzeichen von p oder q wurde nicht übernommen. Die Vorzeichen gehören dazu.
Beispiel I
- 0 = x² + 4x
- p = 4 und q = 0
- Lösungen: -4 und 0
Beispiel II
- 0 = x² -10x + 9
- p = -10
- q = 9
- Lösungen: 9 und 1
Aufgaben zur pq-Formel
Einige Trainingsaufgaben zu Lösen quadratischer Gleichungen mit der pq-Formel sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Zu jeder Aufgabe gibt es immer auch eine Lösung. Direkt zu den Aufgaben geht es über => qck