Quadratische Ergänzung
Anleitung
Basiswissen
x²+a·x umformen in (x+b)²+c: die quadratische Ergänzung (kurz QE) spielt bei quadratischen Gleichungen und Funktionen eine Rolle. Typische Anwendungsfälle sind die Bestimmung von Nullstellen und die Umwandlung von Funktionstermen. Hier steht eine kurze Anleitung dazu.
Grundidee der quadratischen Ergänzung
- Die Grundidee ist die erste binomische Formel ↗
- Man hat einen Term mit x² und x, etwa: x²+6x
- Man will das x aber nur an einer Stelle haben.
- Man kann den Term umformen in (x+3)²-9.
- Denn: x²+6x = (x+3)²-9
- Abkürzung ist: QE
QE über binomische Formel
- Die folgende Anleitung funktioniert immer.
- Nimm die Zahl vor dem x, das wäre hier die 6.
- Halbiere und dann quadriere sie, das gäbe hier die 9.
- Rechne am Ende einmal +9 und dann -9.
- Das gibt: x²+6x = x²+6x+9-9
- Jetzt für x²+6x+9 die erste binomische Formel rückwärts ↗
- Gibt insgesamt: x²+6x = (x+3)²-9
- Über das Auflösen der Klammer kann man eine Probe machen.
- Mehr unter QE über binomische Formel ↗
QE über fertige Formel
- Wer sich gut Formeln merken kann:
- Ein Ausdruck der Form x²+ax …
- ist immer gleich (x+a/2)²-a².
- Mehr unter QE über fertige Formel ↗