Proportion

Mathematik

Basiswissen

Als Proportion^[1] oder auch Verhältnisgleichung^[6] bezeichnet man zwei Brüche oder zwei Differenzen, die gleichgesetzt wurden^[4]. Das ist hier mit Beispielen vorgestellt.

Beispiele zu Proportionen

a-b=c-d ist eine sogenannte arithmetische Proportion ↗

a:b=c:d ist eine sogenannte geometrische Proportion ↗

Die arithmetische Proportion

Bei einer arithmetischen Proportion hat man zwei Differenzen^[9], also zwei Rechenausdrücke mit je einem Minuszeichen. Verbindet man diese zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen entsteht daraus eine arithmetische Proportion. Die zwei Differenzterme 21-x und 5-2 kann man zur Proportion 21-x=5-2 verbinden. Siehe auch arithmetische Proportion ↗

Die geometrische Proportion

Bei einer geometrischen Proportion hat man zwei Verhältnisse, mathematisch oft erkennbar als Brüche oder Quotienten. Verbindet man diese zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen entsteht daraus eine geometrische Proportion, auch Verhältnisgleichung genannt. Die zwei Verhältnisse 8:2 und x:5 kann man zur Proportion 8:2=x:5 verbinden. Siehe auch geometrische Proportion ↗

Proportionen setzen Verhältnisse gleich

Als Verhältnis bezeichnet man einen rechnerischen Vergleich der Größe zweier Zahlen. Fragt man, um wie viel größer eine Zahl a als eine Zahl b ist^[10], so gibt die Rechnung a-b die Antwort. Man spricht von einem arithmetischen Verhältnis. Fragt man, wie viel mal so groß die Zahl a gegenüber der Zahl b ist^[10], so liefert die Division, also der Quotient a:b die Antwort. Das ist das sogenannte geometrische Verhältnis. Das arithmetische von 12 und 4 ist 12-4 oder als Zahl 8. Das geometrische Verhältnis von 12 und 4 ist 12:4 oder als Zahl 3. Siehe auch Verhältnis ↗

Proportionen haben Glieder

Die vier Bestandteile einer Proportion nennt man ihre Glieder^[2]. Die arithmetische Proportion a-b=c-d hat die vier Glieder a, b, c und d^[11]. Die geometrische Proportion a:b=c:d hat die vier Glieder a, b, c und d. Da a und das d nennt man dabei die äußeren Glieder und das b und das c die inneren Glieder^[5].

Proportionen und proportionale Zuordnungen oder Funktionen

Bei einer proportionalen Zuordnung, auch proportionale Funktion genannt^[12], gibt es immer zwei Größen, die für alle betrachteten Fälle als Zahlenwert dieselbe geometrischen Verhältnisse ergeben. Die Idee einer arithmeschien Proportion ist damit heute meist nicht mehr gemeint^[13]. Die betrachteten Größen bezeichnet man oft mit x und y. Wenn etwa aus einer Wertetabelle hervorgeht, dass zu x=4 der y-Wert 12 gehört und zu x=5 der y-Wert 15 und zu x=17 der y-Wert 51, so ist das geometrische Verhältnis von y zu x immer 3. Damit kann man sagen: y/x = 3. Formt man das um, so erhält man y=3x, die typische Form für eine proportionale Funktion ↗

Fußnoten

[1] Samuel Eduard Baltrusch: Das Kopf- und Ziffer-Rechnen. Theoretisch und praktisch nach der Methode vom Einfachen zum Zusammengesetzen mit besonderer Berücksichtigung der Decimalbrüche und der Raumgrößen behandelt, zum Gebrauche für Stadt- und Landschulen und zur Selbstbelehrung. Verlag der Gebrüder Bornträger. 1846. Dort heißt es im Kapitel "III Über arithmetische Proportionen" auf Seite 38: "Die Gleichheit zweier Verhältnisse heißt eine Proportion".

[2] Mathematisch, 1839: "Proportion bedeutet ein auf Ebenmaß, Gleichheit oder Ähnlichkeit, Größe oder Zahlenbestimmung beruhendes Verhältniß bei der Vergleichung von Dingen. So spricht man z.B. von den Proportionen des menschlichen Körpers und nennt denselben proportionirlich, wenn zwischen den verschiedenen Theilen desselben das gehörige Ebenmaß oder Wohlverhältniß besteht, d.h. der eine im Vergleiche zum andern weder zu klein noch zu groß ist, und nennt eine entgegengesetzte Bildung disproportionirlich oder unproportionirlich. Die Mathematik versteht unter Proportion die Zusammenstellung zweier gleicher Verhältnisse, und sind diese arithmetisch, d.h. bestehen sie in Zahlen, so ist eine arithmetische Proportion, sind es räumliche Größen, eine geometrische Proportion vorhanden. So sind z.B. 9–6 und 6–3 zwei gleiche arithmetische Verhältnisse und ihre Zusammenstellung 9 : 6 = 6 : 3 gibt eine arithmetische Proportion. Die vier Bestandtheile derselben heißen Glieder und wenn die beiden mittlern oder innern davon einander gleich sind, wie hier, so heißt die Proportion eine stetige, was z. B. 9 : 6 = 7 : 4 nicht ist. – Proportionalgrößen nennt die Mathematik diejenigen, welche in einem gleichen geometrischen Verhältnisse zueinander stehen, wie das z.B. mit den Seiten ähnlicher Vierecke und Dreiecke als Proportionallinien der Fall ist." In: Brockhaus Bilder-Conversations-Lexikon, Band 3. Leipzig 1839., S. 585. Online: http://www.zeno.org/nid/20000856177

[3] Arithmetisch und geometrisch, 1856: "Proportion, lat.-deutsch, Ebenmaß, Verhältnißmäßigkeit, in der Mathematik 2 durch das Zeichen der Gleichheit mit einander verbundene gleiche Verhältnisse, die arithmetische oder geometrische sein können, wornach auch die P. eine arithmetische (z.B. 12–8 = 9–5) od. eine geometrische ist (z.B. 4 : 12 = 5 : 15). In der arithmetischen P. ist die Summe der beiden äußern Glieder stets gleich der Summe der beiden innern, bei der geometrischen P. das Product der beiden äußern Glieder gleich dem der beiden innern, wornach ein unbekanntes [624] Glied der P. leicht aus den 3 übrigen gefunden werden kann. Sind die beiden innern Glieder einander gleich, so heißt die P. eine stetige, und die Größe der beiden mittlern Glieder ist dann das arithmetische od. geometrische Mittel der beiden äußern. P. iren, ausgleichen, abmessen; p. irt, gleichmäßig, verhältnißmäßig." In: Herders Conversations-Lexikon. Freiburg im Breisgau 1856, Band 4, S. 624-625. Online: http://www.zeno.org/nid/20003480127

[4] Proportion mathematisch, 1861: "(Math.), die Verbindung zweier gleichen Verhältnisse (s.d.) durch das Gleichheitszeichen. Da es arithmetische u. geometrische Verhältnisse gibt, so unterscheidet man auch arithmetische u. geometrische P.; erstere bezeichnet man: a – b = c – d, letztere a : b = c : d (anstatt = steht wohl auch Proportion od. Proportion, bes. bei französischen Mathematikern) u. liest dies: es verhält sich a zu b wie c zu d. Die vier Größen, aus denen eine P. besteht, also hier a, b, c, d, heißen ihre Glieder, u. man spricht von einem ersten, zweiten, dritten, vierten Glied. Die Glieder 1 u. 4 nennt man äußere, 2 u. 3 innere od. mittlere, 1 u. 3 Vorderglieder, 2 u. 4 Hinterglieder der P., beide letztere Paare heißen auch homologe Glieder. Sind alle vier Glieder verschieden, so heißt die P. eine unterbrochene, sind die beiden mittleren gleich, also a : b = b : c, eine stetige. Die mittleren Glieder einer stetigen P. heißen das Mittel, u. es gibt demnach in der arithmetischen P. ein arithmetisches Mittel od. mittlere Proportionale, u. in der geometrischen ein geometrisches Mittel od. mittlere Proportionallinie, wenn die Glieder Linien sind. Das vierte Glied heißt in einer stetigen P. bezüglich die dritte Proportionale, die dritte Proportionallinie. Das vierte Glied einer unterbrochenen P. heißt die vierte Proportionale, die vierte Proportionallinie." Der Artikel ist noch sehr viel umfangreicher. In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 13. Altenburg 1861, S. 628-629. Online: http://www.zeno.org/nid/20010687416

[5] Innere und äußere Glieder, 1909: "Proportion, eine Gleichung, bei der auf beiden Seiten ein Verhältnis steht, z.B. a : b = c : d. Hieraus folgt a d = b c und durch Auflösung a = b c/d. a und d heißen äußere, b und c innere Glieder der Proportion. Man darf die inneren, ebenso auch die äußeren Glieder der Proportion vertauschen. Vertauscht man die linksstehenden, so muß man auch die rechtsstehenden vertauschen. Der Hauptumformungssatz für Proportionen lautet: Ist a : b = c : d, so ist auch: m a + n b : p a + q b = m c + n d : p c + q d, speziell a + b : a – b = c + d : c – d. (korrespondierende Addition und Subtraktion). Eine Proportion heißt stetig, wenn die inneren Glieder gleich sind, z.B. a : b = b : c. Sind mehrere Quotienten einander gleich, so entsteht eine fortlaufende Proportion: a : b : c : d : ... = a' : b' : c' : d' : ... " In: Lueger, Otto: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften, Bd. 7 Stuttgart, Leipzig 1909., S. 269. Online: http://www.zeno.org/nid/20006106536

[6] "Der Ausdruck für die Gleichheit zweier Verhältnisse ist eine Proportion." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 75. Online: http://www.zeno.org/nid/20007643799

[7] "Proportiōn (lat.), Verhältnis, Ebenmaß, Gleichmaß; in der Mathematik Gleichung von Verhältnissen; bei der arithmet. P. ist die Summe, bei der geometr. P. das Produkt der beiden äußern Glieder gleich der Summe, bez. dem Produkt der beiden innern. Sind die mittlern Glieder gleich (a:b = b:c), so heißt die P. eine stetige. Proportionāl, im Verhältnis zueinander stehend, verhältnismäßig, eine P. bildend. Proportionalität, Verhältnismäßigkeit, Ebenmäßigkeit der Größenverhältnisse; proportionieren, in Verhältnis setzten, einrichten; proportioniert, verhältnis-, ebenmäßig." In: Brockhaus' Kleines Konversations-Lexikon, fünfte Auflage, Band 2. Leipzig 1911., S. 461. Online: http://www.zeno.org/nid/20001468464

[8] 1908, Glieder einer Proportion: "Proportion (lat.), Ebenmaß, Verhältnis; in der Mathematik eine Gleichung, die aussagt, daß zwei Differenzen oder zwei Quotienten (Verhältnisse) einander gleich (in Zeichen: =) sind. Im ersten Fall ist die P. arithmetisch, wie a-b = c-d, im zweiten geometrisch, wie a/b = c/d, wofür man gewöhnlich schreibt a:b = c:d, gelesen a [verhält sich] zu b wie c:d; der Quotient a/b = c/d heißt dann auch der Exponent dieser geometrischen P. Die vier Zahlen a, b, c, d nennt man die Glieder der P. und unterscheidet sie ihrer Stellung nach als erstes bis viertes Glied; a und d heißen äußere, b und c innere (mittlere) Glieder." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 16. Leipzig 1908, S. 384-385.

[9] Als Differenz bezeichnet man jeden Rechenterm, bei dem man als letzte Rechenart zur Bestimmung seines Wertes subtrahiert, das heißt minus rechnet. So ist der Term 4·5-2 eine Differenz, denn man würde erst 4·5 und am Ende das -2 zwei rechnen. Der Term 4·(5-2) hingegen ist keine Differenz, da man zuerst das Minus in der Klammer und am Ende das Mal rechnen würde. Siehe mehr dazu im Artikel Terme benennen ↗

[10] Verhältnis mathematisch, 1909: "Verhältnis, im allgemeinen die Beziehung des einen auf ein andres. Daher ist eine Verhältnisbestimmung eine solche, die einem Ding oder einem Begriff nicht an sich selbst, sondern nur in seiner Beziehung auf ein andres, oder vermöge einer Vergleichung mit dem letztern zukommt. Verhältnisbegriffe oder korrelate Begriffe heißen insbes. solche, die einander wechselseitig erfordern und bedingen, wie z. B. groß und klein, rechts und links, Gatte und Gattin etc. – In der Mathematik versteht man unter V. das Ergebnis der Vergleichung zweier gleichartiger Größen, die man die Glieder des Verhältnisses nennt. Man kann nun fragen, um wie viel das eine Glied größer ist als das andre; dies gibt zwischen den beiden Gliedern a und b das arithmetische V. (die Differenz a-b). Fragt man aber, wie vielmal das eine Glied so groß ist wie das andre, so erhält man das geometrische V. (den Quotienten) a: b oder a/b, Ein V. heißt steigend (zunehmend), wenn das zweite Glied größer ist als das erste, z. B. 5–7 oder 5: 7, im entgegengesetzten Fall fallend (abnehmend). Gewöhnlich versteht man unter V. schlechtweg das geometrische. Der Ausdruck für die Gleichheit zweier Verhältnisse ist eine Proportion (s. d.)." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 20. Leipzig 1909, S. 75. Online: http://www.zeno.org/nid/20007643799

[11] Bei dieser Definition, welche übereinstimmend von verschiedenen Lexika gebraucht wird, ist das Minuszeichen eindeutig ein Rechenzeichen. Es gehört nicht zu den darauffolgenden Glieder b und d. Davon abweichend werden in anderen Zusammenhängen, etwa mathematischen Reihen, den Termen von quadratischen oder sonstigen ganzrationen Termen die Minuszeichen als Vorzeichen gedeutet und werden damit zum Teil der Glieder. Ist man unsicher, wie die Handhabung sein soll, empfiehlt es sich, eine eigene Version willkürlich zu wählen und dies ausdrücklich aufzuschreiben. Siehe auch Glied ↗

[12] In der Schulmathematik der Nachkriegszeit (seit 1945) haben sich die Begriffe Verhältnis und Proportion imme mehr auf die rein geometrische Deutung, also den Sinn einer Division, das heißt eines Quotienten verengt. So bezeichnet man heute als proportionale Funktion (oder Zuordnung) nur Funktionen, die sich als y/x=a oder umgeformt als y=a·x darstellen lassen. Die früher noch üblich arithmetische Deutung, y-x=a oder umgeschrieben y=a+x wird heute meist nicht mehr mit betrachtet. Nur noch als "a/b=c/d" behandelt der Bronstein den Begriff der Proportion. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 17. Siehe auch proportionale Zuordnung ↗

[13] Nur noch als "a/b=c/d" behandelt der Bronstein den Begriff der Proportion. In: Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage, 2016. ISBN: 978-3-8085-5789-1. Verlag Harri Deutsch. Dort die Seite 17. Siehe auch Der Bronstein ↗