Nullstellen von Exponentialfunktionen bestimmen
Übersicht
Basiswissen
f(x) = 10^x-100 hat genau eine Nullstelle bei x=2. Typische Verfahren zum Lösen sind Umstellen, Exponentenvergleich und planvolles Probieren. Diese Verfahren sind hier kurz vorgestellt.
Zuerst: null setzen
Der erste Schritt ist immer, dass man die gegebene Gleichung gleich null setzt. Eine gleichung auf null setzen heißt, dass man statt f(x) oder statt y die Zahl 0 schreibt. Nach dem Nullsetzen spricht man dann nicht mehr von einer Exponentialfunktion sondern von einer Exponentialgleichung. Die Aufgabe dann ist es also, eine Exponentialgleichung zu lösen.
Kurzer Überblick
Probieren
- Für x einfache Zahlen wie -3; -2; -1; 0; 1; 2 oder 3 einsetzen.
- Kommt für den Funktionsterm dann Null heraus, ist der x-Wert eine NS.
- Siehe auch Gleichungen lösen über Probieren ↗
Umstellen
- f(x)=0 setzen, dann nach x umstellen. Am Ende muss man Logarithmieren.
- Beispiel: f(x) = 10^x - 30
- Nullsetzen: 0 = 10^x - 30
- Umstellen: 10^x = 30
- Logarithmieren: log 30 zur Basis 4 = x
- Taschenrechner oder Tabelle: x ist etwa 1,48.
Exponentenvergleich
- Man setzt f(x)=0 und löst dann NICHT nach x auf.
- Man probiert links und rechts Potenzen mit gleicher Basis zu kriegen.
- Wenn die Basen gleich sind, dann müssen auch die Exponenten gleich sein.
- Man kann dann also direkt die Exponenten gleichsetzen und nach x auflösen.
- Beispiel: f(x) = e^(2x+1)-e³
- Nullsetzen: 0 = e^(2x+1)-e³
- Umstellen: e³ = e^(2x+1)
- Exponenten gleichsetzen:
- 3 = 2x+1, nach x auflösen:
- x = 1 ⭢ das ist die NS.
Tipps
- Hoch Null gibt immer 1 (außer 0^0, das ist nicht definiert).
- hoch minus ist wie der Kehrwert von etwas hochgerechnet:
- Beispiel: 2^(-3) ist wie (1/2)^3 und das gäbe 1/8.
- Bei Produkten an "Nullfaktor" denken:
- (x+3)(2^x-16) ⭢ Man kann die zwei Klammern einzeln auf NS untersuchen.
- In dem Beispiel wären die NS bei -3 (linke Klammer) und 4 (rechte Klammer).
Aufgaben dazu
Einige Übungsaufgaben mit Lösungen sind hier als Quickcheck zusammengestellt. Siehe dazu unter => qck