Nachfolgerparadoxon
Reelle Zahlen
Basiswissen
Für eine reelle Zahl kann man keinen konkreten Nachfolger angeben, der selbst auch eine reelle Zahl ist. Dieses Problem ist hier kurz vorgestellt.
Was meint Nachfolger normalerweise?
- Das Wort Nachfolger kommt meistens nur in der Grundschule vor.
- Hier meint man damit die nächste größere natürliche Zahl.
- Der Nachfolger heißt auch "rechter Nachbar".
- Der Nachfolger von der 4 wäre die 5.
Wo gibt es hier ein Paradoxon?
- Unklar ist der Nachfolger, wenn Kommazahlen erlaubt sind.
- Beispiel: was soll der Nachfolger von 3,2 sein?
- Wäre es die 4? Oder die 3,3? Oder die 3,21?
- Egal, welchen Nachfolger man jedoch angibt, ...
- man kann immer noch eine Zahl dazwischen packen.
- Es ist also unmöglich, mit Kommazahlen einen Nachfolger anzugeben.
Wie wird das Paradoxon gelöst?
- Um das Problem zu lösen hat man definiert:
- Nachfolger gibt es nur für ganze Zahlen.
- Wenn man in Kommazahlen denkt, darf man nicht vom Nachfolger sprechen.
- Erweitert man aber die reellen Zahlen um eine neue Zahlenart, gibt es eine Lösung.
- Die speziell so konstruierte Zahlenart ist die hyperreelle Zahl ↗