Momentangeschwindigkeit
Was auf dem Tacho steht
Basiswissen
Fahrradbeispiel: man fährt mit dem Fahrrad eine leicht hügelige Strecke entlang. Auf eine Tachometer wird ständig eine andere Geschwindigkeit angezeigt. Die Geschwindigkeit der Tachoanzeige ist die jeweilige momentane Geschwindigkeit.
Definition
- Angenommen man hat ein sich bewegendes Objekt.
- Es ändert ständig seine Geschwindigkeit.
- Die Momentane Geschwindigkeit ist die ...
- zu genau einem bestimmten Zeitpunkt.
Graphisch
- Angenommen man hat ein Weg-Zeit-Diagramm ↗
- Auf der x-Achse ist die Zeit, auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke.
- Dann meint die Momentangeschwindigkeit die Geschwindigkeit an genau einem Punkt.
Berechnung über 1. Ableitung
- Wenn man eine Weg-Zeit-Funktion hat, dann gilt:
- Die momentane Geschwindigkeit ist gleich dem y-Wert der ersten Ableitung.
- Siehe auch => ds/dt
Beispiel Intercity
- Ein Intercity-Express fährt aus einem Bahnhof heraus.
- Dabei beschleunigt der Zug, wird also immer schneller.
- Eine Funktion sagt, welchen Weg s der Zug nach einer Zeit t gefahren ist:
- Eine für Intercity-Züge realistische Funktion ist: s=0,5t²
- Dabei ist s die in der Zeit t zurückgelegte Strecke in Metern.
- t ist die seit dem Start insgesamt gefahrene Zeit in Sekunden.
- Erste Ableitung nach t gibt: s' = 2·0,5·t = t
- s' ist dann die erste Ableitung.
- Nach t=4 Sekunden wäre die momentane Geschwindigkeit: 4 m/s.
