Mittelwertsatz
Differentialrechnung
Basiswissen
Definition des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung: zwischen zwei beliebigen Punkten A und B einer überall differenzierbaren Funktion kann man immer eine Sekante bilden. Es gibt dann immer einen weiteren Punkt zwischen A und B, dessen Tangentensteiung gleich der Sekantensteigung von A und B ist. Das ist hier näher erklärt.
Schritt für Schritt
- Gegeben ist eine Funktion f(x), ...
- die auf dem geschlossenen Intervall [a|b] definiert und stetig ist.
- Außerdem sei f(x) im offenen Intervall ] a|b| differenzierbar.
- Wenn das zutrifft, dann gibt es mindestens einen Punkt auf dem Funktionsgraphen, ...
- an dem die Tangentensteigung genau gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte ...
- an den Stellen a und b ist.
Zahlenbeispiel
Auf der Normalparabel, also dem Graph von f(x)=x² liegen zum Beispiel die zwei Punkte A(1|1) und B(2|4). Die Sekantentseigung von A nach B ist allgemein ∆y/∆x, hier also (4-1)/(2-1), also 3. Nach dem Mittelwertsatz muss es zwischen A und B noch mindestens einen weiteren Punkt mit dieser Steigung geben. Über die erste Ableitung findet man dann, dass der Punkt (1,5|2,25) genau diese geforderte Steigung 3 hat. Siehe auch Sekantensteigung ↗
Ein ähnlicher Satz für Integrale
- Mit Integralen berechnen man auch den Mittelwert von Funktionswerten.
- Mehr dazu unter Mittelwert von Funktionswerten über Integral ↗