Liouville-Funktion
Zahlentheorie
Definition
Die Liouville-Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl entweder eine 1 oder eine -1 zu. Die -1 steht für eine ungerade Anzahl von Primfaktoren, die 1 steht für eine gerade Anzahl von Primfaktoren. Das ist hier kurz mit einem Zahlenbeispiel vorgestellt.
Beispiele
◦ Die 1 hat die Primfaktoren: 1 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
◦ Die 2 hat die Primfaktoren: 1;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
◦ Die 3 hat die Primfaktoren: 1;3 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
◦ Die 4 hat die Primfaktoren: 1;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
◦ Die 5 hat die Primfaktoren: 1;5 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
◦ Die 6 hat die Primfaktoren: 1;2;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
◦ Die 7 hat die Primfaktoren: 1;7 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
◦ Die 8 hat die Primfaktoren: 1;2;2;2 ⭢ Funktionswert ⭢ 1
◦ Die 9 hat die Primfaktoren: 1;3;3 ⭢ Funktionswert ⭢ -1
Was ist die Chowla-Vermutung
Die Chowla-Vermutung besagt, dass die Funktionswerte Liouville Funktion statistisch nicht nicht zwischen benachbarten Zahlen korrelieren. Anders gesagt: ob eine Zahl den Funktionswert -1 oder 1 hat ist nicht statistisch abhängig davon, welchen Funktionswert die Nachbarzahlen haben. Die Vermutung gilt als weder bewiesen noch widerlegt. Lies mehr unter => Chowla-Vermutung
Tipps
Um an die Anzahl der Primfaktoren einer Zahl zu gelangen kann man die sogenannte Primfaktorzerlegung anwenden. Kommt dabei ein Primfaktor mehrfach vor, wird er auch mehrfach gezählt. Lies mehr unter => Primfaktorzerlegung