Linsenformel über pq-Formel
Optik
Basiswissen
1/f = 1/b + 1/g ist die sogenannte Linsenformel. Mit ihr kann man berechen, wo man eine Lupe hinhalten muss, sodass ein scharfes Bild ensteht. Das ist hier ausführlich erklärt.
Wofür gilt die Formel?
Die Formel gilt für Sammellinsen. Sammellinse hat zwei nach außen gewölbte Seiten. Man nennt sie auch bikonvexe Linsen. Normale Brenngläser (Lupen) sind solche Linsen. Hier wird erklärt, wie man über Probieren (mit Taschenrechner) herausfindet, wo man die Linse hinhalten muss, sodass ein scharfes Bild entsteht.
Wozu braucht man überhaupt eine Formel?
Mit einer Sammelinse kann man scharfe Bilder auf eine glatte Fläche projizieren. Dazu braucht man einen hellen Gegenstand wie zum Beispiele eine Kerze, ein helles Fenster in einem dunklen Raum oder eine Glühbirne mit sichtbarem Glühfaden. Dann braucht man irgendwo gegenüber von dem Gegenstand eine glatte Fläche. Nun kann man die Linse so zwischen den hellen Gegenstand und die glatte Fläche halten, dass auf dieser Fläche ein scharfes Bild des Gegenstandes entsteht. Es gibt aber nur genau zwei Punkte zwischen Gegenstand und Fläche an die man die Linse halten muss, dass es klappt. Diese zwei Punkte kann man mit finden, indem man die Linse einfach an verschiedene Stelle zwischen Gegenstand und Fläche hält. Man kann aber auch rechnerisch mit Hilfe der Formel probieren. Das würde zum Beispiel Sinn machen, wenn man das für Räume und Linsen herausfinden will, die man noch gar nicht hat.
Was meint das f?
Jede Sammellinse hat eine sogenannte Brennweite. Die Brennweite f ist eine Strecke, die oft zwischen 5 bis 40 cm liegt. Wenn man mit der Sammellinse Sonnenlicht auf einen Punkt bündelt, dann ist die Brennweite genau der Abstand von der Linse zu dem heißen Punkt, auf dem das ganze Licht gebündelt ist. So kann man die Brennweite einer Linse herausfinden.
Was meinen g und b?
g heißt Gegenstandsweite und meint den Abstand von der Linse zum Gegenstand. Man kann g zum Beispiel in Meter oder Zentimeter angegeben. Das kleine b heißt Bildweite und meint den Abstand der Linse zur glatten Fläche. Auch diese Strecke kann wieder in Meter oder Zentimeter angegeben werden.
Wie bereitet man die Formel vor?
- Setze für f den richtigen Wert für die Brennweite der Linse ein.
- Lege einen Abstand a des Gegenstandes zur glatten Fläche fest.
- Du kannst den echten Abstand messen oder a auch annehmen.
- Du hast dann auf jeden Fall für a eine feste Zahl.
- Dieser Abstand a ist gleich der Summe von g und b.
- Es gilt nur: g+b=a <g=a-b (externer Link)
- Nun nimmt man die Formel und setzt ein:
- Für f die echte Brennweite (z. B. in m).
- Für b setzt man nichts ein, das wird gesucht.
- Für g setzt man a-b ein.
- Jetzt hat man eine Gleichung mit einer Unbekannten.
- Diese kann man jetzt nach b umstellen.
Wie stellt man nach b um?
- Links steht jetzt 1/f.
- Rechts steht 1/b + 1/(a-b)
- Rechts muss man die zwei Brüche addieren. Dazu braucht man gleiche Nenner.
- Dazu linken Bruch erweitern mit (a-b), rechten Bruch erweitern mit b ...
- Brüche addieren. Das gibt:
- 1/f = [(a-b) + b]/[b(a-b)]
- Zähler vereinfachen gibt:
- 1/f = a/[b(a-b)]
- Gleichung auf beiden Seiten mit b(a-b) multiplizieren gibt:
- b(a-b)/f = a, auf beiden Seiten a abziehen gibt:
- b(a-b)/f - a = 0
- Beide Seiten mit f multiplizieren gibt:
- b(a-b) - af = 0, jetzt links die Klammer auflösen, gibt:
- ab - b² - af = 0, b ist jetzt w x in pq-Formel.
- Gleichung Richtung Normalform umformen gibt:
- b² - ab + af = 0, jetzt pq-Formel anwenden, gibt:
- b1 = a/2 + Wurzel aus [(a/2)² - af]
- b2 = a/2 - Wurzel aus [(a/2)² - af]
- Siehe auch pq-Formel ↗
Beispielrechnung
- Wir nehmen ein normales Brennglas mit einer Brennweite von 20 cm.
- Wir haben eine Glühlampe, die 4m von einer Wand entfernt steht.
- Wir setzen in Metern ein: f=0,2 und a=4
- Für b sind dann die zwei Lösungen:
- b1 gibt etwa 3.788854 ✔
- b2 gibt etwa 0.211146 ✔
Interpretation
- Man kann die Lupe etwa 3,79 Meter von der Wand hinhalten.
- Oder man kann die Lupe auch etwa 21 cm von der Wand hinhalten.
- (In beiden Fällen entsteht auf der Wand ein scharfes Bild.)
- (Das Bild im Fall 1 ist sehr groß, im Fall 2 sehr klein.)
