Linearisierung

Mathematik, Physik

Basisiwissen

Man tut so, als sei etwas linear, ohne zu wissen, ob oder wie genau das tatsächlich zutrifft. Das ist in diesem Artikel hier an mehreren Beispielen aus der Mathematik und Physik näher erklärt.

Grundidee der Linearisierung

Irgendetwas ändert sich in jeder Sekunde mal mehr oder mal weniger, zum Beispiel eine Geschwindigkeit. Oder etwas verändert sich mit zunehmender Höhe über dem Boden mal wenig und mal viel, zum Beispiel die Temperatur der Luft. Wenn man dann aber so tut, als wäre die Änderung pro Sekunde oder pro Meter immer gleich, dann modelliert man die Sache, also sei sie linear. Diesen Gedankenschritt nennt man eine Linearisierung. Sie spielt in der Mathematik (Steigungen) und der Physik (pro) eine wichtige Rolle.

Linearisierung als Durchschnitt eines Prozesses

Angenommen ein Motorschiff fährt durch das flache Wattenmeer an der deutschen Nordseeküste. Die Wassertiefe beträgt oft kaum mehr als zwei Meter, jederzeit kann das Schiff auf Grund aufsetzen. Wer Fährfahrten zu den ostfriesischen Inseln kennt, weiß, dass der Kapitän das Schiff dann mal sehr lang (vorsichtig) und manchmal auch viel schneller (alles sicher) fahren lässt. Legt das Schiff so in einer Stunde vielleicht insgesamt 12 Kilometer zurück, dann kann man rein rechnerisch die 12 Kilometer oder 12000 Meter gleichmäßig auf die 60 Minute einer Stunde verteilen. Man käme dann auf eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 200 Metern pro Minute. Tatsächlich gab es zwar Minuten, wo das Schiff vielleicht nur 20 Meter voran kam und andere Minuten, in denen es über 400 Meter zurücklegte. Aber wenn diese Unterscheidungen unwichtig sind, kann ma so tun, als wäre die zurückgelegte Strecke pro Minute immer gleich groß gewesen. Diese Art der Linearisierung nennt man auch den Durchschnitt oder arithmetisches Mittel ↗

Linearisierung als durchschnittliche Steigung zwischen Punkten

Am Graphen einer Funktion f(x) kann man zwischen zwei Punkten auf der Kurve immer ein Steigungsdreieck zeichnen. Der Höhenunterschied geteilt durch den Breitenunterschied gibt dann die mittlere Steigung zwischen den zwei Punkten. Es kann sein, dass der Graph dazwischen tatsächlich an nur wenigen Punkten genau diese mittlere Steigung hat. Aber man linearisiert den Graphen sozusagen dadurch, dass man ihn vereinfacht als gerade Linie zwischen den zwei Punkten behandelt. Lies mehr dazu im Artikel Sekantensteigung ↗

Linearisierung als lokale Steigung an einem Punkt

Man betrachtet den Graphen einer (differenzierbaren) Funktion f(x) und legt an irgendeinen willkürlich ausgewählten Punkt eine Tangente an. Die Tangente ist eine Gerade, die an dem Punkt genau dieselbe Steigung hat wie der Graph selbst. Deutet man die Tangente als Steigung des Graphen an diesem Punkt, dann tut man gedanklich so, als sei der Graph von f(x) an diesem Punkt auch gerade, also eine Linie. Man linearisiert den Graphen also. Das ist die eigentliche Bedeutung von Linearisierung in der Mathematik. Lies mehr zu dem Gedanken unter Tangentensteigung ↗

Fußnoten

[1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Kapitel 3.2: Linearisierung einer Funktion. Seite 368 ff.