Limes
Grenzwert
Basiswissen
Limes heißt wörtlich Grenze[1] und meint in der Mathematik (Analysis) dasselbe wie Grenzwert[2]. Hier wird kurz die spezielle Schreibweise mit dem Unendlichzeichen ∞ erklärt.
Wohin geht das?
- Limes ist ein anderes Wort für Grenzwert ↗
- Limes wird vor allem in einer besonderen Schreibweise benutzt.
- Als Erklärbeispiel dient hier die Normalhyperbel ↗
Limes
- Das Wort Limes meint "Grenzwert von"
- Man spricht: "Der Grenzwert von ..."
- Oder: "Limes von"
f(x)
- Nach dem Wort Limes steht entweder f(x)...
- oder ein wirklicher Funktionsterm, wie etwa 1/x.
- Im Beispiel hier nehmen wir f(x)=1/x
- Man spricht jetzt: "Der Grenzwert von f(x)..."
- Oder: "Der Grenzwert von eins durch x..."
x ⭢ ∞
- Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ ∞
- Man liest: der Limes von x gegen unendlich
- Das heißt: man setzt gedanklich für x immer größere Zahlen ein.
- Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
- Möglichkeiten:
- a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
- b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
- c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
- Beispiele:
- a) Limes von 1/x für x ⭢ ∞ = 0
- b) Limes von x² für x ⭢ ∞ = ∞
- c) Limes von 4-1/x für x ⭢ ∞ = 4
x ⭢ -∞
- Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ -∞
- Man liest: der Limes von x gegen minus unendlich
- Das heißt: man setzt gedanklich für x immer kleinere Zahlen ein.
- Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
- Möglichkeiten:
- a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
- b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
- c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
- Beispiele:
- a) Limes von 1/x für x ⭢ -∞ = 0
- b) Limes von x² für x ⭢ -∞ = ∞
- c) Limes von 4-1/x für x ⭢ -∞ = 4
x ⭢ z
- Unter dem Wort Limes steht: x ⭢ z
- Man liest: der Limes von x gegen z (z. B. 4 oder 5)
- Das heißt: man gedanklich immer dichter an die Zahl z heran, in immer kleineren Schritten.
- Man beoachtet dann, in welche Richtung sich die dazugehörigen y-Werte verändern.
- Möglichkeiten:
- a) Der y-Wert geht Richtung unendlich groß.
- b) Der y-Wert geht Richtung minus unendlich.
- c) Der y-Wert geht Richtung einer festen Zahlen.
- Beispiele:
- a) Limes von 1/x für x ⭢ 4 = 0,25
- b) Limes von x² für x ⭢ 4 = 16
- c) Limes von 4-1/x für x ⭢ 4 = 3,75
Fußnoten
- [1] 1860, Limes als Grenze: "Limes (lat.), 1) Grenze, Quergang durch die römischen Filiale von Osten nach Westen; daher 2) L. imperii romani, die befestigte Grenz- u. Vertheidigungslinie der Römer in Deutschland vom Niederrhein bis zur Donau." In: Pierer's Universal-Lexikon, Band 10. Altenburg 1860, S. 382-383. Online: http://www.zeno.org/nid/20010348107
- [2] Limes als Grenzwert im Sinn der Mathematik ist seit spätestens dem Jahr 1905 in Gebrauch: "Limes (lat., »Grenze«), in der Mathematik soviel wie Grenzwert." In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 12. Leipzig 1908, S. 557. Online: http://www.zeno.org/nid/20007004249
