Kugeloberfläche über Integralrechnung
Herleitung
Basiswissen
Schritt-für-Schritt Erklärung: wie berechnet man die Kugeloberfläche aus einfachsten Grundlagen? Eine Lösung bietet die Integralrechnung.
Voraussetzungen
Kreisumfang = Pi mal Kreisdurchmesser
Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck
Gedankenskizze
- Stelle dir ein 3D-Koordinatensystem vor mit x-, y- und z-Achse vor.
- Die x-Achse kommt horizontal (waagrecht) auf dich zu.
- Die y-Achse geht horizontal (waagrecht) von links nach rechts.
- Die z-Achse geht senkrecht von unten nach oben.
- Wir denken uns eine Kugel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung.
- Der Koordinatenursprung ist der Punkt (0|0|0).
- Der Radius der Kugel sei R.
- Die Kugel schneidet die x-Achse bei (R|0|0).
- Diesen Punkt nennen wir den Punkt X.
- Die Kugel schneidet die z-Achse bei (0|0|R).
- Diesen Punkt nennen wir Z.
Erdkugel
- Die Gedankenskizze kann auch als Erdkugel gedacht werden.
- Die Breitengrade der Erde verlaufen dann parallel zur x-y-Ebene.
- Die Erdmitte liegt im Punkt (0|0|0).
- Der Nordpol liegt im Punkt (0|0|R).
- Der Südpol liegt im Punkt (0|0|-R).
Vorbereitung
Wir stellen uns jetzt einen Strahl (gerade Linie) vor, der aus dem Koordinatenursprung (0|0|0) kommt und irgendwo senkrecht über der x-Achse auf uns zu kommt. Diesen Strahl nennen wir S. Dieser Strahl und die x-Achse bilden im Koordinatenursprung einen Winkel. Wir nennen diesen Winkel Alpha. Verläuft der Strahl parallel zur x-Achse, dann ist Alpha gleich 0 Grad. Geht der Strahl senkrecht nach oben, dann ist Alpha gleich 90 Grad groß. Diesen Strahl lassen wir gleich gedanklich von 0 Grad bis 90 Grad wandern. Bei jeder der Positionen auf dem Weg hat er einen Durchstoßpunkt mit der Kugeloberfläche. Diesen Durchstoßpunkt nennen wir D. Für jeden dieser Durchstoßpunkte D denken wir uns jetzt zwei sehr nahe liegende "Breitengrade". Die Breitengrade verlaufen immer parallel zur x-y-Ebene (also waagrecht). Die Breitengrade sind Kreise auf der Kugeloberfläche. Zu jedem Durchstoßpunkt D denken wir uns zwei solcher Breitengrade. Einer liegt ein klein Bißchen mehr zum Nordpol hin, der andere ein klein Bißchen mehr zum Südpol hin. Zu jedem Durchstoßpunkt können wir uns so also einen kleinen Streifen denken, der einmal entlang des entsprechenden Breitengrades um die Kugel geht. Wenn unser Strahl S die Kugel am Äquator durchstößt, dann ist dieser Streifen maximal groß. Je mehr sich der Durchstoßpunkt von S mit der Kugel dem Kugelnordpol bei (0|0|R) näheret, desto kleiner wird der Streifen. Gedanklich werden wir gleich vom Äquator bis zum Nordpol die nördliche Halbkugel aus solchen Streifen bilden und ihre Flächeninhalte addieren. Die Summe der Streifenflächeninhalte ist dann gleich der Halbkugeloberfläche. Wir müssen nun einen Term für den Flächeninhalt dieser Breitengradstreifen in Abhängigkeit des Winkels Alpha finden. Wenn das gelungen ist, können wir die diese Flächen über den Winkel Alpha von 0 bis 90 Grad integrieren und haben dann die Halbkugeloberfläche.
Beginnen wir mit der Breite der Breitengradstreifen. Mit Breite ist hier gemeint, wie weit das südliche vom nördllichen Streifenende entfernt ist. Wenn wir den Strahl S mti seinem Durchstoßpunkt D gedanklich vom Äquator zum Nordpol laufen lassen, dann wollen wir gedanklich immer einen möglichsten schmalen Breitengradstreifen hinzuaddieren. Der Winkel alpha von S mit der Äquatorebene wird dabei in kleinen Schritten immer um delta(alpha) vergrößert. Wir gehen also mit S in delta(alpha)-Schrittchen vorwärt. Fasst man das Winkelmaßvon alpha im Bogenmaß auf, dann ergibt sich aus der Definition des Bogenmaßes, dass die Breite des hinzukommenden Breitengradstreifens gleich dem Produkt aus dem Kugelradius und delta(alpha) ist. Damit haben wir einen Term für die Breitengradbreite. Jetzt fehlt noch ein Term für die Länge des Breitengradstreifens. Mit Länge ist hier die Strecke gemeint, die vom Durchstoßpunkt D des Strahls S einmal um die Kugel herum bis wieder zu diesem Punkt führt. Dabei muss die Strecke auf der Kugeloberfläche entlang eines Breitengrades verlaufen. Diese Länge ist also identisch mit dem Umfang des Streifens. Nun hat der Breitengradstreifen zwei "Umfänge". Der mehr zum Äquator hin ist immer etwas größer als der zum Pol hin. Je dünner der Streifen aber gedacht wird, desto mehr kann dieser Unterschied vernachlässigt werden. Es wird hier also nur der Umfang des Breitengrades betrachtet, der auf dem Durchstoßpunkt D des Strahles S liegt und damit zum Winkel alpha gehört. Über den Cosinus des Winkels alpha kann der Radius des Breitengrades bestimmt werden. Das geht so: Man denke sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den folgenden drei Ecken: (0|0|0), der Durchstoßpunkt D auf auf der Kugeloberfläche und der Lotfußpunkt von D auf die x-Achse. Die Entfernung vom Koordinatenursprung bis zu diese Lotfußpunkt ist gleich dem Radius des Breitengradstreifens. Diese Entfernung ist aber auch gleich dem Produkt aus dem Cosinus von alpha mit dem Kugelradius r. Als näherungsweisen Flächeninhalt des Breitengradstreifens können wir jetzt seine Breite mit seiner Umfangslänge multiplizieren.
Breitengradfläche = [Breite] * [Umfangslänge]
Breitengradfläche = [delta(alpha)*r] *[2*Pi*cos(alpha)*r]
Integration
Nun können wir die Breitengradfläche vom Winkel alpha=0 bis alpha=90 Grad integrieren. Die Integrationsvariable ist dann alpha. Die Stammfunktion vom Cosinus ist der Sinus. Also ergibt sich als bestimmtes Integral:
Breitengradfläche = 2*Pi*r^2*sin(alpha) in den Grenzen von alpha = 0 bis alpha = 90 Grad. Mit den eingesetzen Integrationsgrenzen ergibt dies 2*Pi*r^2 für die Halbkugel und 4*Pi*r^2 für die gesamte Kugel. Das aber ist genau der Term aus der Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel mit dem Radius r.