Kubische Gleichungen lösen

Methoden

Basiswissen

Vorab

• Kubische Gleichungen haben mindestens eine und höchstens drei Lösungen.
  

• Es gibt mehrere Verfahren, die man der Reihe nach anwendet.
  

• Wenn faktorisieren klappt, ist das meistens am bequemsten.
  

• Wenn nicht, sollte man Zahlen einsetzen Probieren.
  

• Danach bleiben nur noch kompliziertere Verfahren übrig.
  

1. Faktorisieren

• Geeignet, wenn linke Seite gleich 0 ist und rechts nur Terme mit x stehen:
  

• Beispielgleichung: 0 = x³ - x²
  

• x² ausklammern macht aus linker Seite Malkette:
  

• Wird zu: x²(x - 1) = 0
  

• Satz vom Nullprodukte anwenden und Lösung hinschreiben:
  

• Die Lösungen sind: x=0, x=1
  

• Mehr unter Kubische Gleichungen über Faktorisieren ↗
  

2. Probieren

• Beispielgleichung: x³ = 64
  

• Einfache Zahlen wie 0; 1; 2 etc. für x einsetzen:
  

• x=4 klappt; 4 ist also eine Lösung.
  

• Mehr unter Kubische Gleichungen über Probieren ↗
  

3. Teilermethode

• Sind alle Koeffizienten der Gleichung ganze Zahlen ...
  

• dann kann man den Satz über rationale Nullstellen benutzen.
  

• Mit findet man durch systematisches Probieren alle rationalen Lösungen.
  

• Rationale Lösungen sind solche, die man als Bruch schreiben kann.
  

• Irrationale Lösungen würde man mit diesem Verfahren nicht finden.
  

• Mehr unter Kubische Gleichungen über Teilermethode ↗
  

4. pq-Formel

• Das ist eine Unterart des Faktorisierens.
  

• Kann man nur ein x ausklammern, dann bleibt in der Klammer ein quadratischer Term übrig.
  

• Diesen quadratischen Term kann man gleich null setzen und mit der pq-Formel lösen.
  

• Mehr unter Kubische Gleichungen über pq-Formel ↗
  

5. Newton-Verfahren

6. Cardanische Formeln