Konstante Funktion
f(x) = feste Zahl
Basiswissen
f(x) = 5 oder y = 5 ist ein typisches Beispiel für eine sogenannte konstante Funktion in der Mathematik. Eine konstante Funktion hat für alle x-Werte immer denselben y-Wert. Im Beispiel hätte jeder x-Wert immer den y-Wert 5. Das sich der y-Wert für eine Funktion nie ändert, sagt man, er sei konstant. Daher hat dieser Funktionstyp seinen Namen. Der Graph einer konstanten Funktion ist immer eine gerade Linie parallel zur x-Achse.
Definition I
- Links vom Gleichzeichen steht f(x) oder y.
- Rechts vom Gleichzeichen steht nur eine Zahl.
- Der Funktionsterm enthält also kein x.
- Das x wäre eine veränderliche Variable.
- Eine Zahl ist aber nicht veränderlich.
- Das Fachwort dafür ist konstant.
- Daher der Name.
Definition II
- Die folgende Definition[1] ist identisch mit der Definition oben:
- Eine konstante Funktion ist eine Polynomfunktion [vom Grad 0] ↗
- Statt Polynomfunktion sagt man auch ganzrationale Funktion ↗
- Das heißt: f(x) = a·x° oder vereinfacht zu: f(x) = a
- Dabei muss ergänzend definiert werden, das f(0)=a ist.
- Ansonsten würde f(0) bei x° zum unerlaubten Null hoch null ↗
- Siehe auch Polynomfunktion ↗
Beispiele für konstante Funktionen
Der Graph einer konstanten Funktion
- Der Graph ist immer eine Gerade parallel zur x-Achse ↗
- Der Funktionsterm ist automatisch immer auch der Y-Achsenabschnitt ↗
- Beispiel: f(x)=5 geht bei 5 durch die y-Achse ↗
- Man nennt den Graphen auch eine konstante Gerade ↗
Nullstellen einer konstanten Funktion
Eine konstante Funktion hat entweder unendlich viele Nullstellen, nämlich die Funktion f(x)=0, oder sie hat keine einzige Nullstelle (alle anderen Möglichkeiten). Mehr dazu steht im Artikel Nullstellen von konstanten Funktionen bestimmen ↗
Ist eine konstante Funktion auch linear?
Das ist nicht einheitlich definiert. Für das Spektrum Lexikon der Mathematik ist eine Konstante Funktion nur ein Sonderfall einer linearen Funktion. Das Lexikon definiert eine lineare Funktion als f(x)=ax+b und lässt für a und b alle reellen Zahlen zu. Da auch die 0 eine reelle Zahl ist, wäre zum Beispiel auch die konstante Funktion f(x) = 0x+1 oder kurz f(x) = 1 eine lineare Funktion[3]. Das Lehrbuch Papula hingegen zählt die konstante Funktion ausdrücklich nicht zu den linearen Funktion. Für die Funktionsgleichung f(x)=mx+b wird als Wert für m die Null ausdrücklich verboten (m≠0)[1]. Lineare und konstante Funktionen sind aber beide immer auch eine ganzrationale Funktion[2] ↗
Wie setzt man einen x-Wert in eine konstante Funktion ein?
f(x)=4 ist eine typische konstante Funktion. Man ist daran gewöhnt, dass man bei einer Funktion für x eine Zahl einsetzt und dann den dazugehörigen y-Wert herausbekommt. Das geht auch bei einer konstanten Funktion. Man kann entweder so denken, dass die Funktion jedem beliebigen x-Wert automatisch und immer den y-Wert 4 zuordnet. Oder man stellt sich dazu passend die Funktion mit x vor und schreibt: f(x)=4x⁰. Da x⁰ (fast) immer den Wert 1 hat kann jetzt irgendeine Zahl für x einsetzen und erhält dann immer f(x)=4·1, also immer den Funktionswert 4. Man darf für x auch die Zahl 0 einsetzen, obwohl 0 hoch 0 in der Mathematik nicht definiert ist. Man definiert speziell für die konstante Funktion, dass der Funktionswert f(0) immer gleich der Zahl vor dem x⁰ ist, hier also gleich 4. Siehe auch Funktionswert ↗
Der Sonderfall der Nullfunktion
Die einfachst denkbare konstante Funktion ist f(x)=0. Hier wird jedem Wert für x immer nur 0 als y-Wert zugeordnet. Lies mehr unter Nullfunktion ↗
Fußnoten
- [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 191.
- [2] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort die Seite 234.
- [3] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5.Dort die Seite 292.