Konstante Funktion
f(x) = feste Zahl
Basiswissen
f(x) = 5 oder y = 5 ist ein typisches Beispiel für eine sogenannte konstante Funktion in der Mathematik. Eine konstante Funktion hat für alle x-Werte immer denselben y-Wert. Im Beispiel hätte jeder x-Wert immer den y-Wert 5. Das sich der y-Wert für eine Funktion nie ändert, sagt man, er sei konstant. Daher hat dieser Funktionstyp seinen Namen. Der Graph einer konstanten Funktion ist immer eine gerade Linie parallel zur x-Achse.
Definition I
◦ Links vom Gleichzeichen steht f(x) oder y.
◦ Rechts vom Gleichzeichen steht nur eine Zahl.
◦ Der Funktionsterm enthält also kein x.
◦ Das x wäre eine veränderliche Variable.
◦ Eine Zahl ist aber nicht veränderlich.
◦ Das Fachwort dafür ist konstant.
◦ Daher der Name.
Definition II
◦ Die folgende Definition [1] ist identisch mit der Definition oben:
◦ Eine konstante Funktion ist eine Polynomfunktion vom Grad 0.
◦ Das heißt: f(x) = a·x° oder vereinfacht zu: f(x) = a
◦ Dabei muss ergänzend definiert werden, das f(0)=a ist.
◦ Ansonsten würde f(0) bei x° zum unerlaubten => Null hoch null
◦ Siehe auch => Polynomfunktion
Beispiele für konstante Funktionen
◦ => f(x)=5
◦ => f(x)=0
Der Graph einer konstanten Funktion
◦ Der Graph ist immer eine Gerade => parallel zur x-Achse
◦ Der Funktionsterm ist automatisch immer auch der => Y-Achsenabschnitt
◦ Beispiel: f(x)=5 geht bei 5 durch die => y-Achse
◦ Man nennt den Graphen auch eine => konstante Gerade
Nullstellen einer konstanten Funktion
Eine konstante Funktion hat entweder unendlich viele Nullstellen, nämlich die Funktion f(x)=0, oder sie hat keine einzige Nullstelle (alle anderen Möglichkeiten). Mehr dazu steht im Artikel => Nullstellen von konstanten Funktionen bestimmen
Ist eine konstante Funktion auch linear?
Das ist nicht einheitlich definiert. Für das Spektrum Lexikon der Mathematik ist eine Konstante Funktion nur ein Sonderfall einer linearen Funktion. Das Lexikon definiert eine lineare Funktion als f(x)=ax+b und lässt für a und b alle reellen Zahlen zu. Da auch die 0 eine reelle Zahl ist, wäre zum Beispiel auch die konstante Funktion f(x) = 0x+1 oder kurz f(x) = 1 eine lineare Funktion [3]. Das Lehrbuch Papula hingegen zählt die konstante Funktion ausdrücklich nicht zu den linearen Funktion. Für die Funktionsgleichung f(x)=mx+b wird als Wert für m die Null ausdrücklich verboten (m≠0)[1]. Lineare und konstante Funktionen sind aber beide immer auch eine => ganzrationale Funktion [2]
Quellen
◦ [1] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Seite 191.
◦ [2] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 2: Eig bis Inn; 2001; ISBN: 3-8274-0437-7. Dort die Seite 234.
◦ [3] Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5.Dort die Seite 292.
