Intervall
Definition
Kurzinfo
Lückenlos aufeinanderfolgende Zahlen nennt man in der Mathematik ein Intervall. Das Intervall von 4 bis 9 meint: alle Zahlen von 4 bis 9, also auch alle Zahlen, die es dazwischen gibt. Die Ränder können, müssen aber nicht dazugehören. auch die Leere Menge ist ein Intervall[4]. Das ist hier kurz vorgestellt.
Das Intervall der Analysis
In der Analysis, oft im Zusammenhang mit Funktionen und Graphen, ist mit Intervall so gut wie immer eine zusammenhängende Teilmenge der reellen Zahlen gemeint[1][2][3]. Anschaulich ist das ein zusammenhängendes Stück der Zahlengeraden. Zwischen dem linken Rand und dem rechten Rand des Intervalls liegen dann immer lückenlos unendlich viele Zahlen.
Allgemeine Definition von Intervall
Das Wort Intervall wird nicht nur in der Analysis verwendet, sondern zum Beispiel auch in der sogenannten Ordnungstopologie. Allgemein ist ein Intervall ein zusammenhängender, lückenloser Bereich in einer geordneten Trägermenge. Als Trägermenge dient oft der Definitionsbereich. Man betrachtet zum Beispiel die Menge aller natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind dann der Definitionsbereich oder die Trägermenge. Diese Menge ist geordnet, da man allen Elementen eine klare Reihenfolge geben kann. Ein Intervall ist dann ein Bereich von einem linken (kleinere Zahl) bis zu einem rechten Rand (größere Zahl) bei dem alle Elemente dazwischen lückenlos dazugehören. Siehe auch Definitionsbereich und Intervall ↗
Ein Intervall mit natürlichen Zahlen
- Man hat als Trägermenge oder Definitionsbereich: alle natürlichen Zahlen[1]
- Die natürlichen Zahlen sind alle Zählzahlen wie 1, 2, 3, 4, 5 etc.
- Dann bilden die Zahlen 2,3 und 4 zusammen ein erlaubtes Intervall.
- Es gibt keine ausgelassenen Lücken.
Gegenbeispiel: kein Intervall
- Man hat als Trägermenge oder Definitionsbereich: alle reellen Zahlen
- Die reellen Zahlen sind alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl.
- Zu ihnen gehören insbesondere auch alle "Kommazahlen".
- Hier bilden die Zahlen 2,3 und 4 kein erlaubtes Intervall.
- Die verwendeten Zahlen hängen nicht lückenlos zusammen.
- Zwischen der 2 und 3 gibt es z. B. noch die 2,8.
Die Zugehörigkeit der Ränder eines Intervalls
Man unterscheidet, welche der Ränder mit zum Intervall gehören und welche nicht. Die Angabe "vom 12 bis zum 14 Dezember" lässt offen, ob der 12. und der 14. Dezember selbst mit dazugehören oder nicht. Mehr zur Behandlung der Intervallränder unter> Intervalle
Schreibweisen von Intervallen
- Eckige Klammern: nach außen: Rand gehört nicht dazu.
- Eckige Klammern: nach innen: Rand gehört dazu
- Runde Klammern: Rand gehört nie dazu
- Siehe auch Intervallschreibweisen ↗
Fußnoten
- [1] Das Spektrum Lexikon der Mathematik schreibt: "Es sei noch erwähnt, daß man den Begriff des Intervalls üblicherweise auf die reellen Zahlen bezieht, was aber im gerade geschilderten Sinne kein „Muß“ ist." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Seite 19. Online: https://www.spektrum.de/lexikon/mathematik/intervall/4942
- [2] Der englischsprachige Artikel zu Intervall auf Wikipedia schreibt knapp und eindeutig: "An interval is a subset of the real numbers that contains all real numbers lying between any two numbers of the subset." In: Interval (mathematics). Wikipedia. Abgerufen am 15. November 2023. Online: https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_(mathematics)
- [3] Im "Papula" steht dazu: "Bei der Beschreibung der Definitions- und Werbebereiche von Funktionen benötigen wir spezielle, als Intervalle bezeichnete Teilnemen von ℝ, die durch zwei Randpunkte begrenzt werden." Man kann das als implizite Definition von Intervall als Teilmenge der reellen Zahlen auffassen. Die Erwähnung der Randpunkte deutet wiederum implizit an, dass alle dazwischenliegenden Zahlen mitgemeint sind, also auch zusammehängen. In: Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Band 1. 14. Auflage, 2019. ISBN: 978-3-658-05619-3. Verlag Springer Vieweg. Dort auf Seite 8.
- [4] Auch die leere Menge gilt als Intervall: "Insbesondere sind also die leere Menge Ø und M selbst Intervalle." In: Guido Walz: Spektrum Lexikon der Mathematik. Band 3: Imp bis Mon; 2002; ISBN: 3-8274-0435-5. Seite 19.
