Höhensatz


Dreiecke


Basiswissen


h² = p·q ist der sogenannte Höhensatz. Er gilt für alle rechtwinkligen Dreieck und auch nur für rechtwinklige Dreiecke. Der Satz ist hier mit einem Rechenbeispiel erklärt.

Formel


◦ h² = p·q

Legende


◦ h = Höhe über der => Hypotenuse [längste Seite im rechtwinkligen Dreieck]
◦ p = ein Hypotenusenabschnitt [liegt immer auf der Hypotenuse]
◦ q = der andere Hypotenusenabschnitt [liegt auch auf der Hypotenuse]

Erklärung


h² meint h mal h. Die Höhe über der Hypotenuse c ist die Strecke, die senkrecht auf c steht und durch die Ecke mit dem rechten Winkel geht. p und q entstehen dadruch, dass die Höhe über der Hypotenuse, die Hypotenuse c in zwei Teile zerschneidet, eben p und q. Die Summe aus der Länge von p und der Länge von q ist immer gleich der Länge von c.

Wörtlich


◦ Multipliziere die Höhe über der Hypotenuse mit sich selbst.
◦ Multpliziere dann den einen mit dem anderen Hypotenusenabschnitt.
◦ Bei beiden Rechnungen muss immer dieselbe Zahl herauskommen.

Beispiele


◦ Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit der Seite c als Hypotenuse.
◦ Gegenüber dieser Hypotenuse liegt die Ecke C mit dem rechten Winkel.
◦ Die Höhe h über c geht senkrecht von c durch die Ecke C.
◦ Die Höhe h teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p und q.
◦ Angenommen p ist 9 cm lang und q ist cm lang.
◦ Was ist dann die Höhe des Dreieckes?
◦ Rechnung: h² = p·q
◦ Mit p = 9 cm und q = 4 cm erhält man:
◦ h² = 9·cm·4·cm = 36 cm²
◦ Kurz: h² = 36·cm²
◦ Von beiden Seiten die Wurzel ziehen:
◦ h = 6 cm
◦ Die gesuchte Höhe ist 6 cm.

Gibt es noch alternative Formeln zur Höhe?


Ja, Höhen treten in vielen verschiedenen Zusammenhängen auf und oft gibt es dazu spezielle => Höhenformeln