Hochpunkte
Analysis: Arten und Anzahlen
Basiswissen
Es gibt lokale und absolute Hochpunkte. Bei der Unterscheidung spielt das Wort Intervall eine Rolle. Hier wird der Unterschied erklärt und es werden Beispiele gegeben.
Arten
Innerhalb der Analysis sind Hochpunkte die in ihrer Umgebung höchten Punkte eines Graphen. In ihrer Umgebung heißt, dass man einen beliebig kleinen Bereich links und rechts des Punkte angeben kann, in dem es keine gleich hohen oder höheren Punkte gibt. Das Fremdwort für "in der näheren Umgebung" ist lokal. Jeder Hochpunkt ist damit per Definition ein lokaler Hochpunkt. Ist er darüberhinaus der überhaupt höchste Punkt des Graphen im Definitionsbereich oder einem ausgewählten Intervall, so nennt man ihn den globalen Hochpunkt in diesem Bereich. Verschiedene Funktionsarten können unterschiedlich viele Hochpunkte haben. Zur weiteren Definition siehe auch unter Hochpunkt ↗
Global
- Der höchste Punkt überhaupt im gesamten Definitionsbereich
- Heißen auch absolute Hochpunkte.
- heißt auch globaler Hochpunkt ↗
Lokal
- Alle direkten Nachbarn haben kleinere y-Werte.
- Heißen auch relative oder lokale Hochpunkte.
- Mehr unter lokaler Hochpunkt ↗
Funktionsarten
- Keine Hochpunkte konstante Funktion ↗
- Keine Hochpunkte lineare Funktion ↗
- Genau ein Hochpunkt quadratische Funktion ↗
- Genau 0 oder 1 Hochpunkt kubische Funktion ↗
- Genau 0 oder 2 Hochpunkte quartische Funktion ↗
Beispiele
- f(x) = -x² hat lokalen HP bei (0|0)
- f(x) = -x²+1 hat lokalen HP bei (0|14)
- f(x) = x³-3x hat lokalen HP (-1|2)
- f(x) = -x^4 + 8x² hat lokalen HP bei (-2|16) und (2|16)