Globalen Extrempunkt berechnen
Anleitung
Basiswissen
Ein globaler Extrempunkt ist ein Punkt mit dem höchsten oder niedrigsten y-Wert im gesamten Definitionsbereich. Es genügt nicht, nur über die Ableitungen zu suchen. Man muss vielmehr den gesamten Definitionsbereich betrachten.
1. Lokale Extrempunkte berechnen
◦ Bestimme die lokalen Extrempunkte über die erste Ableitung:
◦ (Lokale) => Hochpunkte über Analysis
◦ (Lokale) => Tiefpunkte über Analysis
2. Randverhalten untersuchen
◦ Diese gefundenen lokalen Extrempunkte können - müssen aber nicht - die globalen Extrempunkte sein.
◦ Um das zuklären, betrachtet man noch die y-Werte an den Rändern des Definitionsbereiches.
◦ Dazu setzt man die x-Werte der Ränder in f(x) ein.
◦ Man vergleicht dann die y-Werte der beiden Randpunkt mit dem vorher bestimmten lokalen Extrempunkt.
◦ Der Punkt mit dem größten y-Wert ist dann der globale Hochpunkt.
◦ Der Punkt mit dem kleinstens y-Wert ist der globale Tiefpunkt.
◦ Siehe auch => Randverhalten
Beispiele
◦ Man hat die Funktion => f(x)=x^3-x^2.
◦ Gesucht der globale Hochpunkt im Definitionsbereich D = [-3|3].
◦ [-3|3] meint: erlaubt sind x-Werte von -3 bis 3.
◦ Über die 1. Ableitung findet man einen (lokalen) Hochpunkt bei (0|0).
◦ Man setzt jetzt für x einzeln die beiden Ränder -3 und 3 ein.
◦ f(-3) = -36 ⭢ das ist niedriger als (0|0).
◦ f(3) = 18 ⭢ das ist höhere als (0|0).
◦ Also: (0|0 ist zwar lokaler, aber nicht globaler Hochpunkt.
◦ Der globale Hochpunkt liegt bei: (3|18)
