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Gleichung oder Funktion


y oder f(x)?


Basiswissen


Was ist der Unterschied zwischen den Themen „Lineare Gleichungen“ und „Lineare Funktionen“? Warum spricht man auch von einer Funktion aber gleichzeitig auch von einer Funktionsgleichung? Und wann schreibt man f(x) und wann schreibt man y? Diese Fragen werden hier kurz behandelt.

Einführung


Gleichungen und Funktionen sind nicht dasselbe, aber ihre Bedeutungen überlappen sich in vielen Themen. Die Unterscheidung stammt oft eher aus der gewünschten und selbst bestimmten Art der Betrachtung und nicht dem rein mathematischen Sachverhalt.

Funktion: f(x)


Von Funktionen spricht man, wenn man eine Variable (meist x) gedanklich in ihrem Wert verändern möchte und dann wissen will, wie sich eine davon abhängige Variable (meist y) mitverändert. Wenn man zum Beispiel gedanklich die Geschwindigkeit einer Marsrakete verändern will (wäre das x) und dann sehen will, sie sich abhängig davon die Reisezeit zum Mars (wäre das y) mitverändert, dann würde man die Reisezeit y als eine Funktion der Raketengeschwindigkeit x betrachten. Für eine mathematische Funktion kommt dann noch hinzu, dass es für einen x-Wert auch wirklich nur genau einen dazugehörigen y-Wert gibt. Das steckt in der Aussage, eine Funktion sei eine eindeutige Zuordnung.

Gleichung: y


Bei einer Gleichung interessiert nicht, wie eine variable Größe von einer anderen abhnängt, sondern es interessieren nur bestimmte konkrete Lösungen oder Lösungsmengen. Wenn man etwa y=4x betrachtet so gibt es bestimmte Paare von x-y-Werten, die eingesetzt bewirken, dass die Gleichung aufgeht (zu einer wahren Aussage wird). y=12 und x=3 wäre eine Lösung. y=20 und x=5 wäre eine andere Lösung. Fasst man die x-y-Paare der Lösungen als Punkte in einem x-y-Koordinatensystem auf, so kann man alle Lösungen der Gleichung oft gut im Koordinatensystem eintragen. Es entsteht also wie bei Funktionen auch ein Graph. Jeder Punkt ist eine Lösung.

f(x) oder y?


f(x) wird immer nur bei Funktionen verwendet. Das kleine y kommt sowohl bei Funktionen als auch bei Gleichungen vor. Empfohlen ist es aber, y nur für Gleichungen und nicht für Funktionen zu verwenden. Zum Grund dafür lies oben.


Graphisch


Sowohl Funktionen als auch Lösungsmengen von Gleichungen kann man graphisch darstellen. Bei einer Funktion darf ein x-Wert aber niemals zwei y-Werte haben, bei Gleichungen ist das aber durchaus erlaubt:


Eindeutigkeit


Bei einer Funktion muss es zu jedem x-Wert immer nur genau einen dazugehörigen y-Wert geben. Bei einer Gleichung darf ein x-Wert auch mehrere y-Werte besitzen. Funktionen und Gleichungen sind Zuordnungen. Eine Funktion ist aber eine spezielle Zuordnung, bei der zu einem x-Wert nur genau y-Wert gehört:


Zusammenfassung



Fließende Übergänge


Hat man eine quadratische Funktion, so interessiert vorrangig, was mit den y-Werten passiert, wenn man verschiedene x-Werte einsetzt. Oft gibt man aber bestimmte y-Werte schon vor und will dann wissen, welche x-Werte dazu passen. So gibt man beim Bestimmen der Nullstellen vor, dass y=0 sei und will dann die passenden x-Werte dazu wissen. In diesem Moment geht man von der Sichtweise der Funktion zumindest kurzfristig über in die Sichtweise einer Gleichung. Siehe auch Funktion ↗

Klare Trennung


Die Lösungsmenge der Gleichung x²+y²=8 ergibt veranschaulicht in einem xy-Koordinatensystem einen Kreis. Man spricht deshalb auch von einer Kreisgleichung. Im Graphen hat dann sinnvollerweise auch fast jeder x-Wert genau y-Werte. Das darf bei einer Funktion nicht der Fall sein, bei einer Gleichung an sich schon. Siehe auch Kreisgleichung ↗