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Gesetz vom Flächen- und Volumenwachstum


Kurzbeschreibung


Basiwissen


Verdoppelt man alle Längen eines Körpers so, dass seine Form sich dabei nicht verändert, dann hat der Körper danach die Vierfache Oberfläche und das achtfache Volumen. Dem zugrunde liegt ein tieferes Prinzip, das hier kurz erklärt wird.

Ausführlich


Für alle Körper, ist das folgende Gesetz immer wahr: vervielfacht man alle Längen an dem Körper um den Faktor n, dann wird sich die Oberfläche des Körper um den Faktor n² vergrößern und sein Volumen um den Faktor n³.

Zahlenbeispiel


Man hat einen Würfel der Kantenlänge 6 cm. Seine Oberfläche ist dann 216 cm² und sein Volumen 216 cm³. Nun wird die Kantenlänge - das heißt die Länge aller Kanten - um den Faktor 1,5 vergrößert. Die neute Kantenlänge ist dann 9 cm. Hier steht das Ergebnis in einer Übersicht:


Die Kantenlänge wurde ver-1,5-facht. Nach dem Gesetzt muss die Oberfläche dann ver-1,5²-facht worden sein, also ver-2,25-facht. Probe: 216 mal 2,25 = 486. Das passt. Das Volumen muss sich dabei ver-1,5³-facht haben, also ver-3,375-facht haben. Probe: 216 mal 3,375 = 729. Auch das passt. Die Probe hat das Gesetz hier bestätigt.

Praktische Versuche dazu


Die Wirkung des Gesetzes kann man gut mit Knete nachstellen. Dabei kann man das eher schwer messbare Volumen auch durch die leicht messbare Masse nachstellen. Ein Klassiker ist: man hat eine Knetkugel mit 2 cm Durchmesser geformt. Wenn diese 4,2 Gramm wiegt, wie viel Gramm Knete benötigt man dann für eine Kugel mit einem Durchmesser von 4 cm? Die Antwort ist für jede Person, die den Versuch praktisch ausführt spürbar überraschend. Hier steht eine kleine Auswahl solcher praktischer Versuch:


Zur Wortwahl


Im englischen Sprachraum ist der Begriff square-cube law fest etabliert und hat dort zum Beispiel auch eigene Einträge in Lexika. Im Deutschen gibt es (noch) keine passende kurze Entsprechung. Sinngesmäß trifft die Übersetzung Gesetz vom Größen- und Flächenwachstum aber gut zu.

Bedeutung in der Biologie


Pinguine derselben Arten werden umso größer, je näher ihre Heimt an einem der Pole liegt, je weiter weg sie also vom Äquator leben. Je größer die Körper, desto besser können die Tiere die Wärme im inneren halten. Dieses Prinzip beobachtet man bei vielen Tierarten. Der Effekt heißt in der Biologie Bergmannsche Regel ↗

Fußnoten




Das Gesetz vom Flächen- und Volumenwachstum am Beispiel von zwei Knetkugeln: die kleine Kugel hat einen Durchmesser von etwa 2 cm, die große von etwa 4 cm. Im Hintergrund sieht man ein Raster von Quadratzentimetern. Die kleine Kugel hatte eine Masse von - gewogen - 4,4 Gramm, die große Kugel von 35,2 Gramm. Gunter Heim