R


Gesamtänderung über Integralrechnung


F(x)


Grundidee


Wenn man zu jedem Zeitpunkt weiß, wie schnell sich etwas zu einem Zeitpunkt verändert, etwa die Höhe des Meeresspiegels, dann kann man damit ausrechnen, wie groß die Änderung über eine längere Zeitdauer ist. Das ist hier kurz erklärt.

Was meint Wasserzufluß?


Ein häufig beschriebenes Beispiel zur Erklärung der Gesamtänderung ist ein Wasserzu- oder Abfluss. Man stelle sich einen großen Stausee vor, in dem Trinkwasser für eine große Stadt gespeichert wird. Zuflüsse stammen dann zum Beispiel von Regen, aus dem Grundwasser sowie Bächen und Flüssen. Dass sich dieser Zufluss von Sekunde zu Sekunde ändern kann ist hier offensichtlich: mal regenet es, mal nicht, die Regenstärke ändert sich dauernd und auch wie viel Wasser über Flüsse und Bäche zufließt. Wie viel Wasser dann in jeder Sekunde zufließt kann man zum Beispiel angeben in Kubikmetern pro Sekunde (m³/s). Für eine deutsche Talsperre typisch sind zum Beispiel 5,4 m³/s als Jahresdurchschnitt[1] .

Der momentane Wasserzufluss als Änderungsrate


Der Wasserzufluss ändert sich die ganze Zeit über. In einem trockenen Sommer können es zu einem Zeitpunkt vielleicht nur 1,2 m³/s, wenn es dann kurz darauf regnet sind es vielleicht plötzlich 8,9 m³/s. Diese ständig wechselnden Werte kann man als y-Werte in einem Graph auftragen. Dabei steht die x-Achse (von links nach rechts) für die Zeit. Man hat dann die momentane Änderungsrate (m³/s) als Funktion der Zeit. Liest man aus diesem Graphen einen y-Wert ab, dann weiß man, wie viele Kubikmeter in einer Sekunde an dem abgelesenen Zeitpunkt x zufließen. Diese Funktion f(x) steht für die momentane Änderungsrate ↗

Von der momentanen Änderungsrate zur Gesamtänderung


Möchte man wissen, wie viel Wasser im gesamten Monat September zugeflossen ist, dann müsste man für jede Sekunde im September einzeln die y-Werte ablesen und alles aufaddieren. Das wäre sehr aufwändig. Ein schnellerer Weg geht über die Intagralrechnung: man nimmt die Funktion f(x) und bildet ihre Stammfunktion F(x). Dann setzt man erst das Ende xe des betrachteten Zeitraumes in F(x) ein und berechnet F(xe). Dann setzt man den Anfang xa des betrachteten Zeitraum in F(x) ein und berechnet F(xa). Diesen Wert zieht man dann ab von F(xe). Man rechnet also im Endeffekt: F(xe)-F(xa). Das Ergebnis dieser Rechnung ist die Gesamtänderung: so viel Kubikmeter Wasser sind dann im Zeitraum von xa (Anfang) bis xe (Ende) zugeflossen. Der theoretische Hintergrund ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ↗

Kann man damit auch abfließendes Wasser berücksichtigen?


Ja, das geschieht durch die Formel automatisch. Gibt es Abflüsse, etwa durch die Fallrohre eines Kraftwerkes, durch Überlauf oder auch Verdunstungs, so wird das mathematisch als negativer Zufluss gedeutet. Ein Zufluss von -2,4 m³/s ist dann ein Abfluss von 2,4 m³/s. An der Funktion f(x) wären das dann Funktionswerte unterhalb der x-Achse. Wenn man die Formel für die Gesamtänderung benutzt wie oben beschrieben, werden diese Wassermengen automatisch abgezogen, also korrekt berücksichtigt. Mathematisch aus Sicht der Integralrechnung berechnet man die sogenannte Flächenbilanz ↗

Fußnoten