Exponentialfunktion
Funktion mit x im Exponenten
Definition
Jede Funktion, die sich umformen lässten in f(x) = a·b^T(x) heißt Exponentialfunktion. Das T(x) ist irgendein Term, bei dem eines oder mehrere x'se vorkommen. Bei einer Exponentialfunktion kommt immer ein x in einem Exponenten vor, daher auch der Name. Ist die Basis b der Potenz die Eulersche Zahl e, spricht man auch von einer e-Funktion. Das ist hier näher erklärt.
Allgemeiner Bauplan einer Exponentialfunktion
- f(x) = a·b^T(x)
Legende
- a = Vorfaktor
- b = die Basis: eine beliebige, konstante positive reelle Zahl.
- ^ = das Hochzeichen a^x ist dasselbe wie aˣ, sprich: a-hoch-x
- T(x) = ein Term (Ausdruck) in dem eines odere mehre x's vorkommen
Beispiele für Exponentialfunktionen
- f(x)=2^x als einfache Exponentialfunktion ↗
- f(x)=e^x als Sonderfall e-Funktion ↗
- f(x)=0,5·1,2^x als erweiterte Exponentialfunktion ↗
- f(x)=2^(4x-1) als allgemeine Exponentialfunktion ↗
- Siehe auch Exponentialfunktionen ↗
Graph einer Exponentialfunktion
- Heißt Exponentialkurve ↗
- Der Graph der Grundfunktion f(x)=e^x geht immer durch (0|1).
- Der y-Achsenabschnitt ist also immer (0|1).
- Der Graph hat nie eine Nullstelle ↗
- Der Graph hat nie einen Hochpunkt ↗
- Der Graph hat nie einne Tiefpunkt ↗
- Der Graph hat nie einen Wendepunkt ↗
- Der Graph ist überall linksgekrümmt ↗
Typen von Exponentialfunktionen
Anwendungen
Die Exponentialfunktion passt auf viele Wachstums- und Abnahmeprozesse. Typische Beisiele sind die Radioaktivität, die Ausbreitung von Krankheiten, das Abkühlen von Flüssigkeiten oder das Aufladen eines elektrischen Kondensators. Die Basis a wird dann als Wachstumsfaktor interpretiert.
