Erwartungswert über Baumdiagramm
Anleitung
Basiswissen
Aus einem Baumdiagramm kann man in der Stochastik oft leich einen Erwartungswert berechnen. Das ist hier Schritt-für-Schritt erklärt.
Was meint Erwartungswert?
- Das ist die Ergebniszahl, die am ehesten im Schnitt käme.
- Und zwar bei gedanklich unendlich vielen Versuchen.
Was wäre ein Baumdiagramm?
- Bei einem Baumdiagramm stellt man alle Versuchswege über Pfade dar.
- Jeder mögliche Versuchsablauf ist durch einen Pfad dargestellt.
- Für jeden ganzen Pfad kann man eine Wahrscheinlichkeit berechnen.
- Diese Wahrscheinlichkeit schreibt man an den Ausgang des Pfades.
- Wie das bei einem Baumdiagramm geht steht unter Pfadregel ↗
Was wäre ein Beispiel für ein Baumdiagramm?
- Man würfelt mit zwei normalen Würfeln.
- Als Ergebnisse gilt die Summe der geworfenen Augen.
- Wenn man also eine 3 und eine 4 würfelt, wäre das Ergebnis die 7.
- Man kann insgesamt 36 Pfade unterscheiden:
- Der erste Pfad wäre die 1-1 mit der Ergebnissumme 2.
- Der zweite Pfad wäre die 1-2 mit der Ergebnissumme 3.
- Der dritte Pfad wäre die 1-3 mit der Ergebnissumme 4.
- Der vierte Pfad wäre die 1-4 mit der Ergebnissumme 5.
- Der fünfte Pfad wäre die 1-5 mit der Ergebnissumme 6.
- Der sechste Pfad wäre die 1-6 mit der Ergebnissumme 7.
- Der siebte Pfad wäre die 2-1 mit der Ergebnissumme 3.
- Der achte Pfad wäre die 2-2 mit der Ergebnissumme 4.
- Der neunte Pfad wäre die 2-3 mit der Ergebnissumme 5.
- Der zehnte Pfad wäre die 3-4 mit der Ergebnissumme 6.
- Der elfte Pfad wäre die 4-5 mit der Ergebnissumme 7.
- Der zwölfte Pfad wäre die 5-6 mit der Ergebnissumme 8.
- Und so weiter bis zum 36ten Pfad (6-6) mit der Ergebnissumme 12.
- Jeder Pfad hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/36.
Wie berechnet man den Erwartungswert mü?
- Man hat ein Baumdiagramm bei dem an jedem Ausgang eine Zahl steht.
- Beispiel Würfeln: an den Ausgängen steht die gewürfelte Zahl.
- Diese Zahl, die möglicherweise als Versuchsergebnis kommt heißt auch Ergebniszahl.
- Man geht dann für jede Ergebniszahl den kompletten Pfand vom Anfangsknoten des Diagramms bis zur Ergebniszahl.
- Auf dem Weg multipliziert man wie bei der Pfadregel alle Wahrscheinlichkeiten, die unterwegs stehen.
- Dieses Produkt aller Teilpfadwahrscheinlichkeiten multipliziert man noch mit der dazugehörigen Ergebniszahl.
- Das macht man für alle Ergebniszahlen. Am Ende addiert man alle diese Produkte zu einer Summe zusammen.
- Das Ergebnis ist der Erwartungswert mü.
Was käme bei dem Beispiel oben heraus?
- Das Zahlenergebnis oben wäre die 7.
- Wenn man zweimal würfelt, dann kommt im Schnitt ...
- die Augensumme 7 heraus. Das ist der Erwartungswert.