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Erste Ableitung im Sachzusammenhang


Praxis


Basiswissen


Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel extra-Gewinn eine Firma machen kann: die erste Ableitung f'(x) hat viele anschauliche Bedeutungen. Hier stehen einige Beispiele dazu.

Geschwindigkeit



Beschleunigung



Luftdruckgradient



Reaktionsgeschwindigkeit



Grenzkosten



Grenzerlös



Grenzkosten



Kraft



Versuch: Hebelkraft


Mit Kraftmessern und Newton: der Balken eines kleinen einseitigen Hebels soll mit Hilfe eines Seiles waagrecht ausgerichtet werden. Das Seil wird in einem Abstand x vom Drehpunkt befestigt. Die dann nötige Kraft ist das y. Die Ableitung f'(x) oder y' gibt an, wie viel mal so stark sich die Kraft ändert wie der x-Wert. WH54 Einseitiger Hebel ↗

Versuch: Kreisumfang


Es genügen ein Zirkel, ein Seil und ein Lineal: man zeichnet verschieden große Kreise. Wenn der Radius x ist und der Umfang y, dann gibt die erste Ableitung f'(x) oder auch y' an, wie viel mal so stark sich der Umfang ändert wie der Radius. Kiste 1 Kreisumfangswachstum ↗

Versuch: Quadratflächenwachstum


Man legt aus kleinen Würfeln größere quadratische Flächen. Die Länge eines großen Quadrates sei x, die Fläche davon dann y. Die Funktion y=f(x) gibt dann die Fläche als Funktion der Länge. Die Ableitung f'(x) oder y' ist die Änderung der Fläche pro geänderter Länge. Kiste 1 Quadratflächenwachstum ↗

Versuch: Gummiband-Dehnung


An ein senkrecht von der Decke herabhängendes Gummiband hängt man unterschiedlich schwere Gewichte. Für jedes Gewicht mit der Masse x misst man die Gesamtlänge y des Gummibandes. Man erstellt daraus eine Funktion y=f(x). Die Ableitung f'(x) oder auch y' davon ist die Längenänderung pro neu angehängtem Gewicht (externer Link)=> Quintische Funktion aus Gummibandversuch

Versuch: pythagoreischer Aufzug


Seile und Rollen sind ähnlich wie bei einem Flaschenzug angeordnet. Zieht man an einem Seil die Strecke x, so ändert sich die Höhe y eines angehängten Gewichtes. Auch hier kann die erste Ableitung einfach geometrisch gedeutet werden Pythagoreischer Aufzug ↗