Erste Ableitung im Sachzusammenhang
Praxis
Basiswissen
Wie stark sich der Luftdruck ändert, wie schnell chemische Stoffe reagieren, wie viel extra-Gewinn eine Firma machen kann: die erste Ableitung f'(x) hat viele anschauliche Bedeutungen. Hier stehen einige Beispiele dazu.
Geschwindigkeit
- Man hat einen sich bewegenden Körper.
- y steht für den Ort, x steht für die Zeit.
- Dann ist f'(x) die Geschwindigkeit ↗
Beschleunigung
- Ein Körper bewegt sich.
- x sei die Zeit, y seine Geschwindigkeit zur Zeit x.
- Dann ist f'(x) die Beschleunigung ↗
Luftdruckgradient
- y steht für den Luftdruck, x für den Ort.
- Dann ist f'(x) der Luftdruckgradient ↗
Reaktionsgeschwindigkeit
- y steht für die Konzentration eines Stoffes, x für die Zeit.
- Dann ist f'(x) die Reaktionsgeschwindigkeit ↗
Grenzkosten
- x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.
- y seien die Gesamtkosten, die zur Produktion nötig sind.
- Dann gibt f'(x) die Grenzkosten ↗
Grenzerlös
- x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.
- y sei der damit erzielte Gesamterlös.
- Dann gibt f'(x) den Grenzerlös ↗
Grenzkosten
- x sei die produzierte Stückzahl einer Firma.
- y seien die dafür nötigen Gesamtkosten.
- Dann gibt f'(x) die Grenzkosten ↗
Kraft
- Man hat einen Körper, der sich bewegt.
- Für jeden Zeitpunkt x kann man dem Körper einen Impuls p zuordnen.
- f'(x) ist dann die Kraft, die auf den Körper wirkt, siehe auch Impuls ↗
Versuch: Hebelkraft
Mit Kraftmessern und Newton: der Balken eines kleinen einseitigen Hebels soll mit Hilfe eines Seiles waagrecht ausgerichtet werden. Das Seil wird in einem Abstand x vom Drehpunkt befestigt. Die dann nötige Kraft ist das y. Die Ableitung f'(x) oder y' gibt an, wie viel mal so stark sich die Kraft ändert wie der x-Wert. WH54 Einseitiger Hebel ↗
Versuch: Kreisumfang
Es genügen ein Zirkel, ein Seil und ein Lineal: man zeichnet verschieden große Kreise. Wenn der Radius x ist und der Umfang y, dann gibt die erste Ableitung f'(x) oder auch y' an, wie viel mal so stark sich der Umfang ändert wie der Radius. Kiste 1 Kreisumfangswachstum ↗
Versuch: Quadratflächenwachstum
Man legt aus kleinen Würfeln größere quadratische Flächen. Die Länge eines großen Quadrates sei x, die Fläche davon dann y. Die Funktion y=f(x) gibt dann die Fläche als Funktion der Länge. Die Ableitung f'(x) oder y' ist die Änderung der Fläche pro geänderter Länge. Kiste 1 Quadratflächenwachstum ↗
Versuch: Gummiband-Dehnung
An ein senkrecht von der Decke herabhängendes Gummiband hängt man unterschiedlich schwere Gewichte. Für jedes Gewicht mit der Masse x misst man die Gesamtlänge y des Gummibandes. Man erstellt daraus eine Funktion y=f(x). Die Ableitung f'(x) oder auch y' davon ist die Längenänderung pro neu angehängtem Gewicht (externer Link)=> Quintische Funktion aus Gummibandversuch
Versuch: pythagoreischer Aufzug
Seile und Rollen sind ähnlich wie bei einem Flaschenzug angeordnet. Zieht man an einem Seil die Strecke x, so ändert sich die Höhe y eines angehängten Gewichtes. Auch hier kann die erste Ableitung einfach geometrisch gedeutet werden Pythagoreischer Aufzug ↗