Einfache Exponentialfunktion aus zwei Punkten
Erklärung am Beispiel der Punkte (2|9) (5|243)
Kurzinfo
Hat man zwei Punkte gegeben, dann kann es sein, dass es gar keine Exponentialfunktion gibt, die durch beide Punkte geht. Um herauszufinden, ob es doch geht und wie dann die Funktionsgleichung aussieht, kannst du immer so vorgehen:
1. Punkt aussuchen
Suche dir einen der beiden Punkte aus. Nimm den, bei dem die die Zahlen einfacher erscheinen.
2. Einsetzen
Die linke Zahl in dem Punkt ist immer der x-Wert. Die rechte Zahl ist immer der y-Wert. y ist das f(x). Wir wählen hier den Punkt (2|9) aus. Setze x und y in die Funktionsgleichung ein:
f(x) = a^x
9 = a^2
3. Gleichung lösen
Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannten. Man kann sie durch Probieren oder mit Äquivalenzumformungen lösen. Ziel ist es, dass das a alleine ohne Zahlen steht. Man will also das "hoch 2" wegkriegen. Dazu muss man "das Gegenteil" rechnen, also die Wurzel auf beiden Seiten ziehen. Das gibt:
3=a
4. Gleichung hinschreiben
Jetzt können wir die gesuchte einfache Exponentialfunktion als Gleichung aufschreiben:
f(x) = 3^x
5. Probe
Jetzt müssen wir zur Kontrolle den zweiten Punkt (5|243) einsetzen. Es könnte sein, dass es gar keine einfache Exponentialfunktion durch die zwei Punkte gibt. Geht die Probe mit dem zweiten Punkt auf, ist unsere Gleichung korrekt. Geht sie nicht auf, dann gibt es keine Lösung (einfache Exponentialfunktion) für diese Gleichung. Hier die Probe:
243 = 3^5
Da drei hoch 5 243 gibt, geht die Probe auf. Unsere einfache Exponentialfunktion f(x) = 3^x passt und ist somit die richtige Lösung.